¿Cómo pensar en las álgebras? ¿Existen interpretaciones geométricas de las álgebras de carbón? Si pienso en las álgebras y los módulos como espacios y haces vectoriales, ¿qué son las álgebras y los códices? ¿Qué ejemplos básicos de álgebras de carbón hay que tener en cuenta?
Todo lo que ayude a pensar en las álgebras sin dolor de cabeza es bienvenido ;)
Parece que hay dos fuentes básicas de ejemplos:
1.
La estructura básica que se tiene sobre un espacio (conjunto, esquema...) es el morfismo diagonal $\Delta :X \to X\times X$ . Las funciones sobre los espacios son contravariantes, por lo que las funciones sobre un espacio forman un álgebra: $f.g = \Delta ^\ast (f \boxtimes g)$ . También tenemos el morfismo $\pi : X \to pt$ y la unidad en esta álgebra es $\pi ^\ast 1$ .
Si elegimos alguna linealización covariante de nuestro espacio (como medidas, cadenas topológicas...) entonces este espacio sería una álgebra, con la comulgación dada por $\Delta_\ast$ y el condado $\pi_\ast$ . Así, por ejemplo, tenemos la álgebra $C_\ast (X)$ de cadenas (digamos, singulares) en un espacio topológico.
Tales coalgebras son naturalmente cocomutativas.
En casos agradables, tenemos un pushforward y un pullback (por ejemplo, funciones sobre un conjunto finito, dotadas de una medida), y las estructuras del álgebra y del álgebra de carbón juntas forman un Álgebra de Frobenius (el producto interior es $\pi _\ast \Delta ^\ast$ .
2.
Si nuestro espacio $X$ es un grupo (o quizás sólo un monoide), entonces tenemos un mapa de multiplicación $m: X\times X \to X$ y luego $m^\ast$ dota al espacio de las funciones (o, por ejemplo, a las co-cadenas) de la estructura de una colagebra. Si la multiplicación en $X$ tiene una unidad $e: pt \to X$ entonces $e^\ast$ es el límite de esta álgebra.
Esta álgebra no será conmutativa en general (a menos que $(X,m)$ es conmutativo).
Si además recordamos la estructura de multiplicación ordinaria (procedente de $\Delta ^\ast$ ), entonces estas dos estructuras toegether forman un Álgebra de Hopf (utilizando también la inversión $i:X \to X$ en el grupo).
El ejemplo de Julián es de este segundo tipo.
Todos los ejemplos que conozco son moralmente del tipo 1 o del tipo 2, pero a veces hay que tener una definición muy amplia de "función" o "medida".
Las álgebras aparecen de forma natural en la combinatoria, ya que describen las formas en que se pueden descomponer los objetos en otros del mismo tipo. Por ejemplo, la estructura de las álgebras en $k[x]$ dado por
$$x^n \mapsto \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k \otimes x^{n-k}$$
describe las formas en que se puede descomponer un conjunto en dos subconjuntos. (Nótese que el producto de convolución de los funcionales lineales $k[x] \to k$ puede identificarse con el producto de las funciones generadoras exponenciales).
Como ejemplo más complicado, existe una álgebra que describe las formas en que se puede descomponer una región conectada de $\mathbb{R}^2$ con un número finito de cuadrados en dos regiones de este tipo. Existen infinitas variaciones de esta construcción.
Este punto de vista lo aprendí de la obra de Gian-Carlo Rota Álgebras y bialgebras en combinatoria que actualmente no puedo encontrar una copia en línea...
A menudo se puede pensar que los elementos de las álgebras tienen un carácter de distribución, como se puede ver en varios ejemplos. Por ejemplo, la álgebra cofree cogenerada por un solo elemento (digamos sobre un campo $k$ de característica cero) puede realizarse como una localización de $k[x]$ en el ideal primario $(x)$ que podemos pensar que se encuentra dentro de un espacio de series de potencias formales
$$k[x]_{(x)} \hookrightarrow k[[x]]$$
expandiendo los inversos de los elementos primos a $x$ en series geométricas. Una manera de pensar en las series formales $\sum_n a_n x^n$ que así surgen es que $x^n$ es un símbolo para una derivada de un funcional de Dirac en el sentido de las distribuciones, es decir, pensamos en una serie formal como una suma formal
$$\sum_n a_n \frac{\delta_{0}^{(n)}}{n!}$$
donde $\delta_0 = eval_0: k[x] \to k$ es el funcional de Dirac en $0$ . La comulgación puede leerse a partir de la regla del adjunto
$$\langle \Delta(m), f \otimes g\rangle = \langle m, f \cdot g\rangle$$
donde $f, g \in k[x]$ son "funciones" polinómicas. Escribí una exposición de cálculo de este punto de vista sobre el álgebra cofree en el $n$ -Categoría Café aquí .
Una heurística general aquí es que es difícil multiplicar distribuciones, pero a menudo se pueden "comulgar" por esta regla adjunta.
Otro ejemplo viene dado por la teoría de la homología. Aquí el emparejamiento adjunto (digamos que estamos pensando en términos de la teoría de De Rham, donde los cociclos están dados por funciones suaves) está dado por la integración de un $n$ -sobre un $n$ -cadena:
$$\langle c, \omega \rangle = \int_c \omega$$
así que aquí estamos pensando en $n$ -cadenas que actúan sobre $n$ -como corrientes. De este modo, la coalgebra homológica también tiene un carácter distributivo (con el mismo tipo de interpretación de la comulgación).
Una forma adicional de ver las álgebras es como (un tipo especial de) funtores de álgebras a álgebras.
Fijemos una álgebra $C$ . Para cada álgebra $A$ podemos considerar el espacio vectorial $F_C(A)=\hom(C,A)$ de todos los mapas lineales $C\to A$ . Se trata de un álgebra con respecto al producto de convolución , de modo que para todo $f$ , $g\in F_C(A)$ el producto es la función $f\star g:C\to A$ dado por $$f\star g = \mu_A\circ f\otimes g\circ\Delta_C;$$ aquí $\mu_A:A\otimes A\to A$ es la multiplicación en $A$ et $\Delta_C:C\to C\otimes C$ es la comulgación en $C$ . Es fácil de convertir $F_C$ en un functor.
Por ejemplo, si $M^n$ la álgebra de $n\times n$ comatrices, entonces $F_{M^n}(A)=M_n(A)$ es el álgebra de $n\times n$ matrices con entradas en $A$ . &c.
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