Reducción/simplificación de la suma

Question

Actualmente estoy trabajando en reducir la suma en la primera línea. Las tres líneas siguientes muestran los pasos de la reducción según el instructor. Desafortunadamente no estoy siguiendo la lógica. ¿Puede alguien ayudar a explicar las transformaciones algebraicas entre cada línea?

$$\sum_{i=0}^{n-2} n-i-1$$

$$=n(n-1)-(n-1)-\sum_{i-0}^{n-2}{i}$$

$$=(n-1)^2-\frac{(n-2)(n-1)}{2}$$

$$=\frac{n(n-1)}{2}$$

Answer 1

Primero dividimos la suma:

$$\sum_{i=0}^{n-2}(n-i-1)=\color{#4488dd}{\sum_{i=0}^{n-2}(n-1)}-\color{#cc5500}{\sum_{i=0}^{n-2}i}$$

Uno puede entonces factorizar:

$$\sum_{i=0}^{n-2}(n-1)=(n-1)\sum_{i=0}^{n-2}1$$

y

$$\sum_{i=0}^{n-2}1=\underbrace{1+1+1+\dots+1}_{n-1}=n-1$$

Y así,

$$\color{#4488dd}{\sum_{i=0}^{n-2}(n-1)=(n-1)(n-1)=n(n-1)-1(n-1)}$$

que es una explicación para el primer paso. En la siguiente línea, notarás que se reduce a $(n-1)^2$ que debería ser bastante obvio.

Por otro lado, tenemos

$$\color{#cc5500}{\sum_{i=0}^{n-2}i=\frac{(n-2)(n-1)}2}$$

Esto ha sido fuertemente probado en muchas respuestas Así que te dejaré para que veas cómo funciona todo eso.

El último paso fue combinar las fracciones:

$$\color{#4488dd}{(n-1)^2}-\color{#cc5500}{\frac{(n-2)(n-1)}2}=\color{#4488dd}{\frac{2(n-1)(n-1)}2}-\color{#cc5500}{\frac{(n-2)(n-1)}2}$$

$$=\frac{2(n-1)(n-1)-(n-2)(n-1)}2$$

$$=\frac{(2(n-1)-(n-2))(n-1)}2$$

$$=\frac{n(n-1)}2$$

Answer 2

Poner $j=n-i-1$ :

$$\sum_{i=0}^{n-2} n-i-1=\sum_{j=1}^{n-1} j=\frac {n(n-1)}2$$