Tengo la siguiente situación:
Dejemos que $B \subseteq B'$ sea una extensión de anillo tal que $\text{Quot}(B) = \text{Quot}(B') =: K$ y $\text{dim}(B) = \text{dim}(B') = 1$ donde $B'$ es un dominio Dedekind. Sea $\mathcal{F} = \{ x \in K \mid xB' \subseteq B \}$ sea el conductor de $B$ en $B'$ .
Ahora quiero demostrar que todo ideal primo $P$ en $B$ coprima a $\mathcal{F}$ es decir $P + \mathcal{F} = B$ es invertible.
Ya hemos demostrado que esos ideales primos $P$ coprima al conductor satisfacen que la localización $B_{P}$ es un anillo de valoración discreto. $(*)$
La fuente afirma que la proposición deseada se deduce de $(*)$ .
Mis pensamientos:
Desde este puesto que tenemos:
Propuesta: $M$ como ideal fraccionario es invertible si y sólo si $MB_{P}$ es un ideal fraccionario principal para cada ideal maximal $P$ de $B$ .
En mi situación tenemos $B_{P}$ es un DVR, por lo tanto un PID local y por lo tanto $PB_{P}$ es un ideal principal y claramente invertible como ideal fraccionario de $B_{P}$ . Desde $\text{dim}(B) = 1$ tenemos que todo ideal primo $\neq 0$ es máxima, pero no sé cómo seguir y utilizar el hecho de que $P + \mathcal{F} = B$ .
Agradecería cualquier tipo de ayuda y aportación.
