Significado de $S^{-1}R$ notación

Question

Aquí están los objetos definidos en un ejercicio:

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo. Sea $A$ sea un ideal de $R$ y $S=\{1+a\mid a\in A\}$ .

A continuación, el ejercicio hace referencia a los ideales primos de $S^{-1}R$ . ¿Cuál podría ser la definición de $S^{-1}R$ ?

Pensaba que era el conjunto compuesto por los resultados de los productos de los inversos de los miembros en $S$ con objetos arbitrarios en $R$ pero como $R$ no es necesario que contenga inversos multiplicativos que no tienen sentido.

¿Podría alguien ayudarme con esta notación?

Answer 1

Citando "Introduction to Commutative Algebra" de Atiyah-Macdonald, p. 36:

Dejemos que $R$ sea un anillo. A subconjunto cerrado multiplicativo de $R$ es un subconjunto $S$ de $R$ tal que $1 \in S$ y $S$ es cerrado bajo la multiplicación. Definir una relación $\equiv$ en $R \times S$ como sigue $$(a, s) \equiv (b, t) \iff (at - bs)u = 0 \text{ for some } u \in S.$$ Dejemos que $a/s$ denotan la clase de equivalencia $(a, s)$ y que $S^{-1}R$ denotan el conjunto de clases de equivalencia. Ponemos una estructura de anillo en $S^{-1}R$ definiendo la suma y la multiplicación de estas "fracciones" de la misma manera que lo hicimos en el álgebra elemental: es decir $$(a/s) + (b/t) = (at + bs)/st \text{ and } (a/s)(b/t) = ab/st.$$

Ahora, para el particular $S$ que definió como $S := \{1 + a : a \in R\}$ necesitamos demostrar que es un subconjunto cerrado multiplicativamente para que concuerde con la definición anterior.

1. Es inmediato que $1 \in R$ desde $1 + 0 \in S$ (elegir $a = 0$ ).
2. Dejemos que $1 + a, 1 + b \in S$ entonces $(1 + a)(1 + b) = 1 + \underbrace{a + b + ab}_{\in R} \in S$ .

Para más información, consulte este enlace de la wikipedia sobre el anillo de fracciones .