Dados cuatro puntos con coordenadas enteras, encuentra si forman un polinomio cuadrático

Question

Dados cuatro puntos con coordenadas enteras (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), y (x4, y4), ¿cómo puedo encontrar si están o no en el mismo polinomio cuadrático? Podría seleccionar tres puntos cualesquiera y resolver la fórmula general de una cuadrática ( f(x)=ax^2 + bx + c ) y luego ver si el cuarto punto estaba en la cuadrática, y repetir para todas las combinaciones de puntos, pero eso parece "tonto".

¿Existe un algoritmo mejor para resolver este problema?

Answer 1

Sólo tienes que resolver la fórmula general una vez, ya que esto te dará la única cuadrática para la que caen los tres puntos que seleccionas. Por lo tanto, el cuarto punto caerá o no en esta curva y tendrás tu respuesta.

Answer 2

Las cuatro ecuaciones $y=ax^2+bx+c$ forman un sistema lineal. Se puede comprobar que es compatible mediante la regla de Cramer, que equivale a

$$\left|\begin{matrix} y_1&x_1^2&x_1&1\\ y_2&x_2^2&x_2&1\\ y_3&x_3^2&x_3&1\\ y_4&x_4^2&x_4&1\\ \end{matrix}\right|=0$$

o $$\left|\begin{matrix} y_2-y_1&x_2^2-x_1^2&x_2-x_1\\ y_3-y_1&x_3^2-x_1^2&x_3-x_1\\ y_4-y_1&x_4^2-x_1^2&x_4-x_1\\ \end{matrix}\right|=0.$$

Answer 3

Si están en una cuadrática, entonces los cuatro vectores $\vec{u}_0=(1,1,1,1)$ , $\vec{u}_1=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ , $\vec{u}_2=(x_1^2,x_2^2,x_3^2,x_4^2)$ y $\vec{v}=(y_1,y_2,y_3,y_4)$ será linealmente dependiente. Más precisamente $$ \vec{v}=a\vec{u}_2+b\vec{u}_1+c\vec{u}_0. $$ Esta dependencia lineal se puede comprobar calculando el $4\times4$ determinante $$D= \left\vert\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\\ x_1^2&x_2^2&x_3^2&x_4^2\\ y_1&y_2&y_3&y_4\end{array}\right\vert. $$ Si están en una cuadrática, se obtiene $D=0$ . En realidad, lo contrario también es válido siempre que $x_1,x_2,x_3,x_4$ son todos distintos. Eso es porque por los determinantes de Vandermonde los tres primeros vectores son automáticamente linealmente independientes.

Answer 4

Haciendo el problema más general: tienes $n$ puntos de datos $(x_i,y_i)$ y quieres saber si todos ellos están en el mismo polinomio cuadrático.

Realizar una regresión multilineal; evitando las matrices, las ecuaciones normales correspondientes se escriben $$\sum_{i=1}^n y_i=n a + b \sum_{i=1}^n x_i+ c \sum_{i=1}^n x_i^2$$ $$\sum_{i=1}^n x_iy_i= a \sum_{i=1}^n x_i+ b \sum_{i=1}^n x_i^2+ c \sum_{i=1}^n x_i^3$$ $$\sum_{i=1}^n x_i^2y_i= a \sum_{i=1}^n x_i^2+ b \sum_{i=1}^n x_i^3+ c \sum_{i=1}^n x_i^4$$ Resolver para $a,b,c$ (tres ecuaciones lineales) y calcular $$y_i^{calc}=a+ b x_i+c x_i^2$$ Si, para todos los valores de $i$ , $y_i^{calc}=y_i$ , entonces todos los puntos están en el mismo polinomio cuadrático.