Método sencillo para demostrar $a^3+b^3=1$ no tiene soluciones enteras si $ab\neq 0$

Question

Cualquier método sencillo para demostrar $a^3+b^3=1$ no tiene soluciones enteras si $ab\neq 0$ que no implique el último teorema de Fermat?

Answer 1

$$1 = a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = (a+b)((a+b)^2-3ab)$$ implica $a+b=\pm 1$ y así $(a+b)^2 - 3ab = 1 - 3ab \not\in \{-1,1\}$ si $ab \ne 0$

Answer 2

Bueno $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab + b^2)=1$

Los únicos factores de $1$ son $1\cdot 1$ o $-1 \cdot (-1)$ .

Así que debemos tener $a+b = a^2 - ab + b^2 =\pm 1$ .

Y eso no funcionará a menos que $ab=0$ .

De ello se desprende que $b= \pm 1 -a$

Y por lo tanto $a^2 - a(\pm 1 - a) + (\pm 1 - a) = \pm 1$ así que

$a^2+a^2 \mp a -a \pm 1 = \pm 1$

Así que, o bien $2a^2 -2a+1=1$ o $2a^2 -1 = -1$ así que

$2a(a-1) = 0;b= 1-a$ o $2a^2 = 0;b = -1-a$ .

Así que tenemos $a=0$ y $b=1$ . De $a =1$ y $b =0$ . O $a=0$ y $b = -1$ .

En los tres casos debemos tener $ab = 0$ .

Answer 3

Dejemos que $ab\neq 0$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=1$$ Por lo tanto, $a,b$ no pueden tener los mismos signos, entonces $$ab < 0$$ Por lo tanto, $$a^2-ab+b^2>1$$ que es una contradicción.

Answer 4

Enfoque alternativo tedioso (y por lo tanto algo inferior) que se centra en la diferencia mínima entre cubos distintos.

Demuestre que lo siguiente es imposible:

• $a,b \in \Bbb{Z}$

• $a \neq 0 \neq b.$

• $a^3 + b^3 = 1.$

Para $c,k \in \Bbb{Z},~$ dejar $f(c,k) = (3c^2k + 3ck^2 + k^3).$

$\underline{\text{Lemma 1}}$
$(c,k \in \Bbb{Z^+}) ~\implies ~f(c,k) \neq 1.$
Prueba :
$f(1,1) = 7.$
$(c \geq 1) ~\implies~ (c^2 \geq 1).$
$(k \geq 1) ~\implies~ (k^2 \geq 1 ~\text{and}~ k^3 \geq 1).$
Por lo tanto, $(c \geq 1 ~\text{and}~~~ k \geq 1) ~\implies~ f(c,k) \geq f(1,1).$

$\underline{\text{Lemma 2}}$
$(c,k \in \Bbb{Z^+}) ~\implies ~ \{[(c+k)^3 - c^3] \neq 1\}.$
Prueba :
$[(c+k)^3 - c^3] = f(c,k)$ .
Invoca el lema 1.

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Si $a,b$ ambos positivos, entonces el valor mínimo de $a^3 + b^3$ es $2$ .
Si $a,b$ ambos negativos, entonces el valor máximo de $a^3 + b^3$ es $-2$ .

Por lo tanto, $~~a \in \Bbb{Z^+},~ b \in \Bbb{Z^-},~~$ o viceversa.

Ya que la ecuación en disputa, $1 = a^3 + b^3$ es simétrica con respecto a $a$ y $b$ ,
sin pérdida de generalidad, $~~a \in \Bbb{Z^+},~ b \in \Bbb{Z^-}$

Dejemos que $c = -b \implies$

• $c \in \Bbb{Z^+}~~$ y
• $1 = a^3 + b^3 = a^3 - c^3$ .

Esto implica que $a > c.$
Por lo tanto, $~\exists k \in \Bbb{Z^+}~$ tal que $~~~a = (c + k)$ .
Invoca el lema 2.