Probar que una integral definida es igual a cero

Question

Actualmente estoy asumiendo que $$\int_a^b \left| f(x)-\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(y) \, dy \right) \right| \, dx=0$$

$a\neq b$

¿Cómo puedo demostrar este resultado?

(me han sugerido que utilice el teorema del valor medio)

Answer 1

Esto no es cierto en general, y es fácil encontrar contraejemplos (tomar $f(x)=x$ en $[0,1]$ por ejemplo). Además, si $f\in L^1([a,b])$ entonces $$ 0=\int_a^b\left|f(x)-\frac{1}{b-a}\int_a^b f(y)dy\right|dx=||f-c||_{L^1([a,b])}, $$ donde $c:=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(y)dy$ y esto implica que $f=c$ casi en todas partes en $[a,b]$ .

Esto demuestra que las funciones que satisfacen su identidad tienen que ser constantes en casi todas partes.

Sin embargo, tu afirmación se vuelve cierta cuando eliminas el valor absoluto...