Probando $\phi$ está esencialmente acotado

Question

Esta es una de las preguntas cualitativas del pasado. Supongamos que $\phi$ es una función medible de valor real sobre $\mathbb{R}$ tal que, para cualquier $f$ en $L^{1} (\mathbb{R})$ el producto $f\phi$ también está en $L^{1} (\mathbb{R})$ . Para demostrar $\phi$ está esencialmente acotado.

En serio, no sé por dónde empezar. He pensado en abordar el problema por contradicción. Parece que no voy a ninguna parte desde ahí.

Answer 1

Definir $T:L^1(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ por $$T(f)=\int_{\mathbb{R}}f\phi$$

Tenga en cuenta que $T$ está bien definida por hipótesis. Voy a demostrar que $T$ es una función lineal acotada. En efecto, supongamos que $f_n\rightarrow f$ por lo que podemos extraer una subsecuencia de $f_n$ (sin reetiquetar) tal que $$f_n\rightarrow f,\ a.e$$ y $$|f_n|\leq g$$

donde $g\in L^1$ . Por lo tanto, tenemos que $f_n\phi\rightarrow f\phi$ casi en todas partes y $|f_n\phi|\leq|g\phi|$ donde $g\phi\in L^1$ por hipótesis. Ahora utilizando el teorema de Lebesgue podemos concluir que $T(f_n)\rightarrow T(f)$ .

Porque $T\in (L^1)^\star$ podemos encontrar $h\in L^{\infty}$ tal que $$T(f)=\int_\mathbb{R}fh,\ \forall\ f\in L^1$$

Esto implica que $h=\phi$ y por lo tanto $\phi\in L^{\infty}$