¿A qué valores de $\alpha$ y $\beta$ hace $\int_0^1x^\alpha(1-x)^\beta \ln xdx$ ¿converger?

Question

$$\int_0^1x^\alpha(1-x)^\beta \ln x dx$$

Cuando $x\to 0$ :

$(1-x)^\beta=1-\beta x+o(x)$

$$\int_0^1x^\alpha(1-\beta x)\ln xdx=\int_0^1x^\alpha\ln xdx-\int_0^1\beta x^{\alpha+1}\ln xdx$$

Si integramos por partes:

$$\int x^\alpha\ln xdx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\ln x-\int\frac{x^\alpha}{\alpha+1}dx$$ $$\beta\int x^{\alpha+1}\ln xdx=\beta\frac{x^{\alpha+2}}{\alpha+2}\ln x-\beta\int\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+2}dx$$

Por tanto, la integral converge cuando $\alpha>-1$ pero en la respuesta está escrito que $\beta>-2$ . No veo de dónde han sacado eso. ¿Se supone que ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente o basta con una de ellas?

(Por cierto, he intentado añadir más miembros a la expansión de taylor, pero no he llegado a nada útil. Algo me dice que ahí está la respuesta, pero no sé cómo podría afectar al resultado añadir más miembros).

Answer 1

Observe que cuando $\beta < 0$ la integral también es impropia en el punto final superior. Puede ser útil dividir el intervalo de integración en $1/2$ . Entonces $\int_0^{1/2} \dots $ se analiza como lo ha hecho. Pero $\int_{1/2}^1 \dots$ requiere un análisis para $\beta < 0$ .

Answer 2

Recuerde que si $a>0$ entonces $x^a\log(x)\to0$ como $x\to0$ (puede comprobarlo fácilmente). Así que si $a>0$ y $\beta\geq0$ la integral converge.

Si $a\leq0$ entonces $\int_0^1x^a(1-x)^b\log(x)dx\geq\int_0^1(1-x)^b\log(x)dx\geq\int_0^{1/2}(1-x)^b\log(x)dx\geq c_b\int_0^{1/2}\log(x)dx=\infty$ para todos $b\in\mathbb{R}$ , donde $c_b$ es una constante positiva que depende de $b$ .

Entonces, ¿qué sucede cuando $a>0$ y $b<0$ Tenemos $$\int_0^1x^a(1-x)^b\log(x)dx=$$ $$=\int_0^{1/2}x^a(1-x)^b\log(x)dx+\int_{1/2}^1x^a(1-x)^bdx\sim \int_0^{1/2}x^a\log(x)dx+\int_{1/2}^1(1-x)^bdx$$ $\sim$ significa que se comportan de la misma manera con respecto a la convergencia (creo que puedes justificarlo tú mismo) Así que si $b<-1$ la integral converge, pero si $b\in(-1,0)$ la integral diverge.

En resumen: si $a>0$ y $b\geq0$ Tenemos la convergencia. Si $a\leq0$ tenemos divergencia (no importa cómo $b$ se comporta). Si $a>0$ y $b<-1$ Tenemos la convergencia. Si $a>0$ y $b\in(-1,0)$ tenemos divergencia.