Límites superior e inferior para la solución de $ y' = t - y^2, y(0)=0.$

Question

Estoy trabajando en el problema del valor inicial $$ y' = t - y^2,\qquad y(0)=0.$$ Suponiendo que la solución existe en $[0,\infty)$ Se supone que debo mostrar que $$ 0\leq y(t) \leq \sqrt{t}\qquad \forall t\geq 0.$$

He conseguido demostrar un límite superior de $t^2/2$ utilizando el teorema fundamental del cálculo, pero no parece que me acerque a la $\sqrt{t}$ que pide la pregunta. Cualquier ayuda será apreciada :)

Answer 1

Una pista: $y'=t-y^2=(\sqrt{t}-y)(\sqrt{t}+y)$ y eso está bien para $\sqrt{t}$ ya que las hipótesis piden una solución en $[0; +\infty)$ .

Buscando un límite inferior: supongamos una solución positiva $y(t)$

Buscando un límite superior: suponiendo una función positiva $y$ con la condición inicial $y(0)=0$ entonces tiene que ser una función creciente, entonces, $y' \geq 0$ . Eso se cumple si:

• $\sqrt{t}-y\geq0$ y $\sqrt{t}+y \geq0$

o

• $\sqrt{t}-y\leq0$ y $\sqrt{t}+y\leq0$

La primera serie de condiciones revela que $\sqrt{t}\geq y$ y $\sqrt{t}\geq-y$ . Desde $\sqrt{t}$ es estrictamente positivo, si $y\leq\sqrt{t}$ entonces, obviamente $-y\leq\sqrt{t}$ . La segunda serie de condiciones revela que $\sqrt{t}\leq y$ y $\sqrt{t}\leq-y$ pero se contradicen entre sí, porque $-y$ asume valores negativos, y la raíz cuadrada asume valores positivos.

Entonces, un límite superior para la solución es efectivamente, $y\leq\sqrt{t}$ y descubrimos que $0\leq y(t) \leq \sqrt{t}$ , para $t \in [0,+\infty)$

También podrías resolver lo que sucedería suponiendo una solución de valor negativo, pero eso no es lo que pide el ejercicio.

Answer 2

Desde $y'(0)=0$ Hay un poco de $\delta>0$ tal que para $t \in (0,\delta)$ , tenemos $y(t)^2<t$ Así que $y'(t)>0$ . Por el teorema del valor intermedio, $y(t)>0$ en $(0,\delta)$ . Supongamos que $$\tau:=\inf \Bigl\{t\ge \delta: \, y(t) \in \{0,\sqrt{t}\} \Bigr\}<\infty \,. \tag{*} $$ (Recordemos la convención de que el infimo de un conjunto vacío es el infinito). Si $y(\tau)=0$ entonces $y'(\tau)=\tau$ , una contradicción ya que $y(t)>0$ en $(0,\tau)$ . Si $y(\tau)=\sqrt{\tau}$ entonces $y'(\tau)=0$ Así que $g(t)=t-y^2$ satisface $g(\tau)=0$ y $g'(\tau)=1$ , una contradicción ya que $g(t)>0$ para
$t \in (0,\tau)$ . Así, $\tau$ definido en $(*)$ debe ser infinito, por lo que $0<y(t)<\sqrt{t}$ para todos $t>0$ .

Answer 3

Considere un punto $(t_0,y_0)$ tal que $ y_0 > \sqrt{t_0}$ y una solución a la ecuación diferencial $y(t)$ con la condición de límite $y(t_0) = y_0$ . Tenemos claramente $y'(t_0) < 0$ y que si $0 < t < t_0$ y $y(t) > y(t_0)$ entonces $y'(t) < 0$ . Así que $y$ debe ser una función decreciente en este intervalo. Por tanto, $y(0) > y(t_0) > \sqrt{t_0} > 0$ por lo que la solución con $y(0) = 0$ no pasa por este punto.