El texto "Nonsingular Plane Cubic Curves over Finite Fields" de Schoof tiene la siguiente proposición:
La prueba completa está aquí:
No puedo entender este paso de la prueba:
Sé por qué la parte en azul es cierta. Lo que queda es la parte en rojo. Me queda creer que la ecuación del rojo 2 implica lo que hay dentro de la caja roja, pero ¿cómo demostrarlo?
En primer lugar $\frac{\phi-1}{n} \in \operatorname{End}_{\mathbb{F}_q}(E)$ equivale a $\mathbb{Z}[\frac{\phi-1}{n}] \subset \operatorname{End}_{\mathbb{F}_q}(E)$ porque $\operatorname{End}_{\mathbb{F}_q}(E)$ es un anillo.
Para un entero cuadrático $\alpha$ la norma $N(\alpha) = \alpha\bar{\alpha}$ y rastrear $T(\alpha) = \alpha+\bar{\alpha}$ aparecen como coeficientes en el polinomio mínimo de $\alpha$ : $(x-\alpha)(x-\bar{\alpha}) = x^2-T(\alpha)x + N(\alpha)$ . El discriminante de este polinomio es $T(\alpha)^2 - 4N(\alpha)$ .
El discriminante del orden cuadrático $\mathbb{Z}[\frac{\phi-1}{n}]$ es el discriminante del polinomio mínimo de $\frac{\phi-1}{n}$ según lo calculado en $\color{red}{\mathbf{2}}$ utilizando lo anterior. Tenga en cuenta que hay un error tipográfico en $\color{blue}{\mathbf{1}}$ el denominador de la norma debe ser $n^2$ como en el $\color{blue}{\text{blue}}$ caja.
En el $\color{red}{\text{red}}$ caja, $\mathcal{O}\Big(\frac{t^2-4q}{n^2}\Big)$ denota el orden cuadrático complejo del discriminante $\frac{t^2-4q}{n^2}$ , a saber $\mathbb{Z}[\frac{\phi-1}{n}]$ .
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