Tomar al azar guijarros blancos/negros, un número indeterminado de cada uno

Question

Pregunta:

Tienes una caja con $n$ guijarros blancos y $n$ guijarros negros, así que $2n$ total. Coges la mitad de los guijarros y los tiras. De los guijarros restantes, tomas uno al azar (todos los guijarros tienen la misma probabilidad). ¿Cuáles son las probabilidades de que el guijarro sea blanco?

Mi intento:

Realmente no estoy seguro de cómo abordar este problema, ¿puedo incluso obtener una solución que dependa únicamente de $n$ ?

Digamos que tenemos $n-k$ guijarros blancos, y $n-p$ guijarros negros que quedan, y tomamos uno. La probabilidad de que sea blanca es $\frac{n-k}{2n-k-p}$ pero dudo que esa sea la solución deseada.

Puedo simplificarlo más, pero sigue dependiendo de $k$ o $p$ . Desde $n-k+n-p = n$ se deduce que $p = n-k$ por lo que la probabilidad es ahora $\frac{n-k}{n}$ .

Answer 1

Es fácil ver que $k$ puede tomar valores entre $0$ y $n$ incusive (Sólo hay $n$ guijarros blancos). Y todos estos valores son igualmente probables. Por lo tanto, se puede simplemente "promediar" las probabilidades $\frac {n-k} n$ para los citados valores de $k$ . Esto le da $\frac {\frac {n-0} n + \frac {n-1} n + ... + \frac {n-n} n} {n + 1} = \frac 1 2$ . Podemos hacer una prueba sencilla para pequeños $n$ Por ejemplo $n = 2,3$ pero puedes hacerlo tú mismo.

Answer 2

Hay $n+1$ diferentes casos para el caso de que tome $n$ bolas de la caja y tirarlas.

Dejemos que en uno de esos casos, $n$ bolas que se lanzan en las que $m (0\le m\le n)$ son blancos y $(n-m)$ son negros. La probabilidad de que esto ocurra es $$p_1=\frac{^nC_m\cdot^{n}C_{n-m}}{^{2n}C_n}=\frac{(^nC_m)^2}{^{2n}C_n}$$

Ahora, la probabilidad de seleccionar una bola blanca en un solo sorteo del lote restante ( $n-m$ blanco y $m$ bolas negras) es:

$$p_2=\frac{n-m}{n}$$

Entonces, la probabilidad final es $$p=p_1\cdot p_2$$

que ciertamente depende de $m$ .

Espero que eso ayude.