Porque la escala es demasiado pequeña en el teorema de Mertens, y el teorema de los números primos, así como la hipótesis de Riemann, están ocultos por la O(1/\log{X}) notación.
De hecho, lo primero equivale a reforzar este término para o(1/\log{X}) a los que se les ha pedido que se unan a la lista. O(1/\sqrt{X}) .
[Por cierto, se podrían hacer afirmaciones equivalentes a una escala aún menor. Por supuesto, una estimación como \sum_{p < X} 1/p^2 = \mathrm{const} + O(1/X) no dice nada en absoluto sobre los primos. Pero uno podría, si lo desea, expresar el teorema de los números primos elaborando el O(1/X) término. ]
Para elaborar esto un poco, permítanme ir a una escala un poco más grande donde el teorema del número primo comienza a surgir fuera de o(1) . Esto también es más natural; de hecho, fue como se demostró el teorema de Mertens.
Por suma parcial, la estimación de Mertens equivale a \sum_{p < X} (\log{p})/(p-1) = \log{X} + O(1) o, si se prefiere, \sum_{n < X} \Lambda(n)/n = \log{X} + O(1) . Sin embargo, el teorema de los números primos es la afirmación de que el O(1) converge a una constante: \sum_{n < X} \Lambda(n)/n = \log{X} - \gamma + o(1) . De hecho, el límite relacionado \sum_{n < X} \Big( \frac{1}{n} - \frac{1}{X} \Big) \Lambda(n) = \log{X} - 1 - \gamma + o(1) otra forma del teorema del número primo, es lo que realmente obtuvo de la Vallee Poussin en su trabajo original. Aquí \gamma = 0.57\ldots es la constante de Euler, pero esto no tiene importancia para nosotros, véase el siguiente párrafo. También la \log{X} polo logarítmico corresponde al polo de \zeta(s) en s=1 mientras que el o(1) expresa que no hay ceros con \mathrm{Re}(s) = 1 . La hipótesis de Riemann es el límite correspondiente más fuerte O(1/\sqrt{X}) en el o(1) término oscilante. A esta escala, en contraste con \psi(X) = X + O\big( \sqrt{X} (\log{X})^2 \big) o \pi(X) = \mathrm{Li}(X) + O(\sqrt{X}\log{X}) no se requiere un factor logarítmico además de la raíz cuadrada, ya que \sum_{\rho} 1 / |\rho|^2 < \infty sobre los ceros.
Por último, he aquí cómo deducir la forma más habitual \psi(X) \sim X del teorema de los números primos a partir del refinamiento S(X) := \sum_{p < X} \Lambda(n)/n = \log{X} -\gamma + o(1) del teorema de Mertens: Suma por partes, \psi(X) = XS(X) - \int_1^X S(t) \, dt = X(\log{X} - \gamma + o(1)) - \big( \int_1^X \log{t} \, dt - \gamma X + o(X) \big) = X + o(X) .
Añadido (Diciembre, 2017). Me encontré con una observación que daba también una prueba "trivial" de la implicación elemental inversa de las dos formas puramente cualitativas, multiplicativa y logarítmica, del teorema del número primo: \psi(X) \sim X \Leftrightarrow S(X) = \log{X} - \gamma + o(1) . Lo que sigue parece haberse perdido en la literatura sobre métodos elementales que, en este punto, parecen citar todos un teorema tauberiano algo más complicado de Axer; véase la sección 8.1.1 del libro de Montgomery y Vaughan ( Teoría de los números multiplicativos: I ) o, para un entorno más general, el capítulo 14 del reciente libro de Diamond y Zhang sobre Números generalizados de Beurling (realmente este documento de los suyos). El argumento más sencillo que se expone a continuación también se extiende fácilmente a los campos de números, proporcionando una prueba particularmente fácil de la "equivalencia elemental" del teorema del ideal primo de Landau y del campo de números agudo de Mertens. Por cierto, según recuerdo, esto aborda un punto ligeramente curioso que había surgido en los comentarios de esta respuesta de Eric Naslund . Recordando también mi respuesta aquí, he pensado que puede valer la pena registrar la siguiente observación como una adición a la misma, ciñéndome por simplicidad al caso racional asumido en esta pregunta.
Una prueba de \psi(X) \sim X \Rightarrow S(X) = \log{X} - \gamma + o(1) . Para simplificar, permítanme ceñirme a \mathbb{Q} . El caso de un campo numérico K tiene el mismo resultado con \gamma generalizado como el "invariante de Euler-Kronecker \gamma_K .
La clave es observar que la fórmula X^{-1} \log{X!} = \sum_{n \leq X/T} \frac{\Lambda(n)}{n} + \sum_{m \leq T} \frac{1}{X} \Big( \psi\Big( \frac{X}{m} \Big) - \psi\Big( \frac{X}{T} \Big) \Big) + O(1/T) se mantiene uniformemente en los dos parámetros X, T \geq 1 con un coeficiente absoluto implícito. Interpola entre la estimación de Mertens (caso T = 1 ) y la fórmula de convolución de Chebyshev \log{X!} = \sum_m \psi(X/m) (caso T = \infty ). Pero la fórmula general también se desprende, tras un momento de reflexión, del argumento de Chebyshev con la factorización en primos de X! . Dividir los módulos en los rangos n \leq X/T y n > X/T . La contribución total de estos últimos se contabiliza exactamente en la segunda suma. Para un módulo pequeño n \leq X/T la contribución a través de la factorización del primo es X^{-1} \lfloor X/n \rfloor \Lambda(n) = \frac{\Lambda(n)}{n} + O\Big(\frac{\Lambda(n)}{X}\Big) despreciando la parte fraccionaria. El O(1/T) resulta de la suma de estos términos para n \leq X/T y utilizando la estimación de Chebyshev \sum_{n \leq Y} \Lambda(n) \ll Y . (En la generalización del campo numérico, estas últimas estimaciones se extienden como cuentas de puntos de la red).
Ahora, por la asintótica de Stirling, el cualitativo \psi(X) \sim X \Rightarrow S(X) = \log{X} - \gamma + o(1) la implicación es inmediata a partir de la fórmula observada al dejar X \to \infty y luego T \to \infty .