Definición de estabilizador de un conjunto

Question

¿Qué es un estabilizador de un conjunto?

Sé que un estabilizador de $x\in X$ con respecto a un grupo $G$ que actúa sobre $X$ es, específicamente: $$\{g\in G:g\cdot x=x\}.$$

Pero al definir el estabilizador de un conjunto $Y\subset X$ esto podría ir en dos direcciones: $$\{g\in G:g\cdot x=x,\quad \forall x\in Y\},$$ $$\{g\in G:g\cdot Y\subset Y\}.$$

¿Cuál es? No he podido encontrar en Internet la definición.

Esto último permite, por ejemplo, que si tuviéramos $Y=\{a,b\}$ que $g\cdot a =b, g\cdot b =a$ es un elemento viable de este último "estabilizador".

Answer 1

Si un grupo $G$ actúa sobre un conjunto $\Omega$ podemos extender esto a una acción de $G$ en el conjunto de todos los subconjuntos de $\Omega$ (su conjunto de energía).

Esto se hace declarando para $S \subseteq \Omega$ que $g \cdot S = \{g \cdot s : s \in S\} \subseteq \Omega$ .

En este caso, el estabilizador de un subconjunto $S$ es cualquier elemento del grupo que fija $S$ como un subconjunto no necesariamente fijando cada una de ellas $s \in S$ . En este último caso, cuando $g \cdot s = s$ para todos $s \in S$ decimos que $g$ fija $S$ punto de vista (Supongo que podríamos decir "estabiliza puntualmente", pero es mucho menos común en mi experiencia). En general, los estabilizadores de subconjuntos pueden permutar elementos dentro del subconjunto.

Si oigo algo sobre el estabilizador de un subconjunto, automáticamente pienso "no necesariamente puntual" a menos que se mencione explícitamente; no creo que esté en minoría. Pero si soy yo quien escribe, siempre menciono explícitamente si las cosas están fijadas puntualmente o no, porque la aclaración extra nunca está de más.