Representación de Ito para la integral del movimiento browniano

Question

Por el teorema de representación de Ito, ya que la integral del movimiento browniano es media cero, deberíamos tener alguna función aleatoria $\phi$ tal que

$$\int_0^T W_t dt = \int_0^T\phi(\omega,t)dW_t$$

Me resulta un poco incómodo que el lado izquierdo sea una variación finita y el derecho una martingala local, incluso para los fijos $T$ Pero no puedo acercarme más a la forma anterior que el resultado obvio de la fórmula de Ito

$$\int_0^T W_t dt = TW_T-\int_0^TtdW_t$$

Gracias

Answer 1

La identidad

$$\int_0^T W_t \, dt = T W_T - \int_0^T t \, dW_t$$

es un buen comienzo. Ahora tenga en cuenta que

$$T W_T = \int_0^T T \, dW_t$$

lo que implica que

$$\int_0^T W_t \, dt = \int_0^T (T-t) \, dW_t.$$

Esta es exactamente la representación que está buscando.