Cálculo de la integral $\int \sqrt{1+\sin x}\, dx$ .

Question

Quiero calcular la integral $\int \sqrt{1+\sin x}\, dx$ .

He hecho lo siguiente:
\begin{equation*}\int \sqrt{1+\sin x}\, dx=\int \sqrt{\frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{1-\sin x}}\, dx=\int \sqrt{\frac{1-\sin^2 x}{1-\sin x}}\, dx=\int \sqrt{\frac{\cos^2x}{1-\sin x}}\, dx=\int \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\, dx\end{equation*}

Sustituimos $$u=\sqrt{1-\sin x} \Rightarrow du=\frac{1}{2\sqrt{1-\sin x}}\cdot (1-\sin x)'\, dx \Rightarrow du=-\frac{\cos x}{2\sqrt{1-\sin x}}\, dx \\ \Rightarrow -2\, du=\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\, dx $$

Obtenemos lo siguiente: \begin{equation*}\int \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\, dx=\int(-2)\, du=-2\cdot \int 1\, du=-2u+c\end{equation*}

Por lo tanto, \begin{equation*}\int \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\, dx=-2\sqrt{1-\sin x}+c\end{equation*}

En Wolfram la respuesta es otra. ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Como se ha señalado en otras respuestas, hay que tener en cuenta las señales. En efecto, a partir de tu cálculo sabemos que

$$ \int \sqrt{1+\sin x} \, dx = \int \frac{\left|\cos x\right|}{\sqrt{1-\sin x}} \, dx $$

Ahora dejemos que $I$ sea un intervalo en el que $\cos x$ tiene el signo constante $\epsilon \in \{1, -1\}$ . Es decir, suponer que $\left| \cos x \right| = \epsilon \cos x$ para todos $x \in I$ . Entonces

\begin{align*} \text{on } I \ : \qquad \int \sqrt{1+\sin x} \, dx &= \epsilon \int \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}} \, dx \\ &= -2\epsilon \sqrt{1-\sin x} + C \\ &= - \frac{2\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} + C \end{align*}

En la última línea, utilizamos la igualdad $\cos x = \epsilon \left|\cos x\right| = \epsilon \sqrt{1-\sin^2 x}$ .

Obsérvese que las elecciones máximas de $I$ son de la forma $I_k := [(k-\frac{1}{2})\pi, (k+\frac{1}{2})\pi]$ . Así que si quieres una solución que funcione en un intervalo mayor, tienes que coser soluciones en $I_k$ para diferentes $k$ 's juntos de forma continua. Esto hace que los valores de $C$ cambio para diferentes intervalos $I_k$ . Pero a partir de la periodicidad, no es terriblemente difícil describir una solución global y, de hecho, se puede escribir como

$$ \int \sqrt{1+\sin x} \, dx = - \frac{2\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} + 2\sqrt{2} \left( \left\lceil \frac{x+\frac{\pi}{2}}{2\pi} \right\rceil+ \left\lfloor \frac{x+\frac{\pi}{2}}{2\pi} \right\rfloor \right) + C $$

El término adicional de la función suelo/techo se introduce para compensar los saltos de $y=-2\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}$ :

$\hspace{2em}$

Answer 2

Reescribe la integral dada utilizando sustituciones trigonométricas/hiperbólicas :

$$\int \sqrt{1+\sin x} dx ={\displaystyle\int}\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{2x-{\pi}}{4}\right)\,\mathrm{d}x$$

Aplicar la sustitución :

$$u=\dfrac{2x-{\pi}}{4} \to dx = 2du$$

lo que significa que la integral se hace igual a :

$$=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{2^\frac{3}{2}}}{\displaystyle\int}\cos\left(u\right)\,\mathrm{d}u =2^\frac{3}{2}\sin\left(u\right)$$

Deshacer ahora la sustitución por $u$ y obtener :

$$=2^\frac{3}{2}\sin\left(\dfrac{2x-{\pi}}{4}\right)$$

lo que significa que :

$$\int \sqrt{1+\sin x} dx =2^\frac{3}{2}\sin\left(\dfrac{2x-{\pi}}{4}\right) + C =2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)-2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+C$$

Answer 3

Usted tiene $$\begin{equation*}\int \sqrt{1+\sin x}\, dx=\int \sqrt{\frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{1-\sin x}}\, dx=\int \sqrt{\frac{1-\sin^2 x}{1-\sin x}}\, dx=\int \sqrt{\frac{\cos^2x}{1-\sin x}}\, dx=\int \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\, dx\end{equation*}$$ lo cual es cierto hasta su última igualdad donde olvidó su $\sqrt {cos^2x}=|cos(x)|$ y lo sustituyó por $\sqrt {cos^2x}=cos(x)$