El mapa $q: \mathbb{R}^3 / \{0\} \to S^2$ donde $q(x) = \frac{x}{|x|}$ es un mapa cociente

Question

En el ejercicio 3.64 de la topología de Lee, afirma que las fibras de $q$ son rayos abiertos en $ \mathbb{R}^3 / \{0\}$ Lo cual tiene sentido. Luego dice que es fácil comprobar que $q$ lleva los conjuntos saturados abiertos a los conjuntos abiertos, lo que parece intuitivo, pero no puedo explicar por qué exactamente.

Intuitivamente, los conjuntos abiertos saturados en el dominio son "rebanadas de pastel" abiertas (y sus uniones) con la punta en el origen, y $q$ simplemente los proyectará a la bola de la unidad en un sentido muy directo. ¿Cómo puedo formalizar este razonamiento?

Gracias.

Answer 1

Los conjuntos saturados de $f$ son aquellos conjuntos $S\subseteq \mathbb R^3\setminus \{0\}$ para lo cual $S=\bigcup_{z\in \Lambda} f^{-1}(z)$ para algunos fijos $\Lambda\subseteq S^2.$ Supongamos que $S$ está abierto. Tenemos que demostrar que $f(S)$ también está abierto.

Dado que los conjuntos abiertos son invariantes bajo rotaciones, sin pérdida de generalidad, $z=(1,0,0)\in f(S).$ Entonces, $f^{-1}((1,0,0))$ es el rayo $(0,\infty)\subseteq \mathbb R^3\setminus \{0\},\ (1,0,0)\in S$ y como $S$ está abierto, hay una bola $(1,0,0)\in B((1,0,0))\subseteq S.$

Para demostrar que $f$ mapas $B$ a un conjunto abierto en $S^2$ que contiene $(1,0,0),$ puedes hacer algo de geometría analítica elemental o notar que $h: \Bbb R^3\setminus\{0\}\to S^2\times(0,\infty):\ h(x)=(f(x),|x|)$ es una biyección continua con inversa continua $h^{-1}(f(x),x)=|x|f(x) $ y como la proyección $\pi_1$ es abierto, se deduce que $f=\pi_1\circ h$ está abierto.

De hecho, el último párrafo muestra que $f$ es un mapa abierto, y el hecho de que $S$ está saturado es superfluo.

Answer 2

A grandes rasgos, y con un enfoque elemental:

Un conjunto saturado es de la forma $$\{\alpha \mathcal V \mid \alpha>0\}$$ donde $\mathcal V \subseteq S^2$ es un conjunto de vectores unitarios.

Dejemos que $A\subseteq \Bbb R^3\setminus \{0\}$ estar abierto y saturado, y elegir un punto $x\in q(A)$ . Tenga en cuenta que, en particular $x\in A$ (ya que $q(A)\subseteq A$ ), lo que significa que existe un $\delta>0$ tal que $B_\delta(x)\subseteq A$ , ya que $A$ está abierto. Pero entonces $$ B_\delta(x)\cap S^2 \subseteq q(A) $$ es un barrio abierto en $q(A)$ que contiene $x$ .

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Más sencillo aún: $$ q(A) = A \cap S^2, $$ que es abierto por definición de la topología del subespacio.

Answer 3

Digamos que tenemos $p\colon X \to Y$ un mapa continuo de espacios topológicos, y además, existe $i \colon Y \to X$ mapa continuo tal que $p\circ i = \mathbb{1}_Y$ ( $i$ es una sección de $p$ ). Entonces $p$ es suryente (teoría de conjuntos) y a mapa de cociente .

Prueba: tenemos que comprobar que si $f \colon Y \to Z$ es un mapa tal que $f\circ p \colon X \to Z$ es continua, entonces $f$ también es continua. Pero tenemos $f = f \circ \mathbb{1}_Y= f \circ (p \circ i) = (f\circ p) \circ i$ , una composición de mapas continuos, por lo tanto continua.

En particular, un retracción $p \colon X \to Y \subset X$ es un mapa cociente.

De forma más general, podemos demostrar que un mapa continuo es un mapa cociente si existen secciones locales alrededor de todos los puntos del espacio objetivo.

En nuestro caso $p \colon \mathbb{R}^n\backslash\{0\}\to S^{n-1}$ es una retracción, por lo que es un mapa cociente. Ahora, tenemos una acción del grupo $\mathbb{R}_+^{\times}$ en $\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$ y las órbitas son las fibras del mapa $p$ . Concluimos que existe un homeomorfismo de espacios cocientes $\mathbb{R}^n\backslash\{0\}/ \mathbb{R}_{+}^{\times} \simeq S^{n-1}$ . Ahora, en general, el mapa cociente $X \to X/G$ es abierto, porque la saturación de un subconjunto abierto $U\subset X$ es $\cup_{g\in G} g\cdot U$ , de nuevo abierto. Concluimos que el mapa $p$ está abierto (no está cerrado).

Como en realidad se trata de variedades, la existencia de una sección (suave) implica que el mapa es un inmersión ( otra forma de verlo es un mapa abierto).