¿Qué es? $\lim_{(x,y,z)\rightarrow (0,0,0)} \frac{x^{2}+y^3+z^2}{x^{3}+y^{2}+z^2}$ ?

Question

¿Cómo se evalúa $$\lim_{(x,y,z)\rightarrow (0,0,0)} \frac{x^{2}+y^3+z^2}{x^{3}+y^{2}+z^2}$$

Normalmente, en esta situación, convertiría esto en forma polar y sustituiría todas las x por $rcos(\theta)$ y las "y" con $rsin(\theta)$

Pero no tengo ni idea de cómo deshacerse de las zetas.

Answer 1

Dejemos que $f(x,y,z)$ sea dada por

$$f(x,y,z)=\frac{x^2+y^3+z^2}{x^3+y^2+z^2}$$

Si el límite $(x,y,z)\to (0,0,0)$ se aproxima a lo largo de la curva paramétrica dada por $x=t$ , $y=kt$ y $z=0$ para $t\to 0$ encontramos que

$$\begin{align} \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)&=\lim_{t\to 0}f(t,kt,0)\\\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{1+k^3t}{t+k^2}\\\\ &=\frac{1}{k^2} \end{align}$$

En la medida en que $k$ es arbitraria, el límite de interés no existe.