Función de distribución conjunta y función de densidad conjunta

Question

Estoy realmente confundido con lo que la pregunta está pidiendo y por dónde empezar. Gracias de antemano por la ayuda.

Supongamos que $(a,b) $ ~uniforme $([0,1]\times[0,1])$ (¿Significa eso que nos dan la función de densidad de unión?)

1. Determinar la fdc $F: R^2 \to [0,1]$
2. Determinar la densidad $f$ de $F$ .

Answer 1

Se nos da que $(A,B)$ tienen una distribución uniforme conjunta en el cuadrado unitario $$\mathcal D :=[0,1]\times[0,1] = \{(x,y)\in\mathbb R^2: 0\leqslant x, y\leqslant 1\}. $$ Se deduce que para cualquier conjunto de Borel $S\subset\mathbb R^2$ , $$\mathbb P((A,B)\in S) = \lambda(S\cap\mathcal D),$$ donde $\lambda$ es $2$ -medida de Lebesgue. La función de distribución conjunta viene dada por $$ F_{X,Y}(x,y) = (x\wedge 1)\mathsf 1_{[0,\infty)}(x)(y\wedge 1)\mathsf 1_{[0,\infty)}(y) $$ donde denota $\wedge$ denota $\min$ y $\mathsf 1$ la función de indicador. Dado que la distribución conjunta satisface $F_{X,Y} = F_XF_Y$ (el producto de las funciones de distribución marginal), $X$ y $Y$ son independientes, por lo que la densidad conjunta satisface $f_{X,Y}=f_Xf_Y$ . Ahora, $$f_X(x) = \frac{\mathsf d}{\mathsf dx}F_X(x) = \mathsf 1_{[0,1]}(x)$$ y de manera similar $f_Y(y)=\mathsf 1_{[0,1])}(y)$ Así que $$f_{X,Y}(x,y) = \mathsf 1_{[0,1]}(x)\mathsf 1_{[0,1]}(y). $$