Encontrar un grupo determinado $G$ con $H,K\unlhd G$ , $H\cong K$ y $(G/H)\ncong(G/K)$

Question

Estoy tratando de resolver un problema de mi libro de texto de teoría de grupos. Dice:

Encontrar un grupo determinado $G$ con $H,K\unlhd G$ que verifica $H\cong K$ pero $(G/H)\ncong(G/K)$ .

No sé qué grupo considerar. Al principio pensé en el cuaternario $Q_8$ pero no he encontrado una solución (en mi libro, este tipo de ejercicios suelen utilizar el $Q_8$ ). Luego consideré los grupos diedricos $D_n$ y el simétrico $Sn$ pero tampoco consiguió nada. ¿Cuál es la posible solución a este problema? Cualquier ayuda será apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Así que puedes considerar $G = \mathbb Z, H= 2 \mathbb Z, K = 3 \mathbb Z$ . Entonces $H \cong K$ pero $\lvert G / H \rvert = 2$ y $\lvert G / K \rvert = 3$ Por lo tanto $G / H \not\cong G / K$ .