Si $\Lambda \cap U$ es densamente Zariski en $U$ entonces $\Lambda$ contiene $U(k\mathbb Z)$ para algunos $k ≥ 1$ ?

Question

Si $G$ es un $\mathbb Q$ -subgrupo definido de $\operatorname{GL}_n(\mathbb C)$ , $\Lambda$ es un subgrupo de $G(\mathbb Z)$ y $U$ es un subgrupo unipotente de $G(\mathbb C)$ tal que $\Lambda \cap U$ es densamente Zariski en $U$ por qué debe $\Lambda$ contienen $U(k\mathbb Z)$ (el principal subgrupo de congruencia de $U(\mathbb Z)$ de nivel $k$ ) para algunos $k \ge 1$ ?

Esto es un poco la generalización de una línea que no entendí en el artículo Meiri - Pares generadores para subgrupos de índice finito de $\operatorname{SL}(n, \mathbb Z)$ ( página 4, segundo párrafo ), que estoy intentando ampliar a los grupos de Chevalley.

Answer 1

En esta respuesta seguiré el comentario de Yves y añadiré referencias. Si $U = \mathbf{U}(R)$ con $\mathbf U$ una unipotencia algebraica $\mathbb Q$ -entonces se cumplen los dos hechos siguientes :

• Si $\Lambda \le U$ es un subgrupo denso de Zariski, entonces $U/\Lambda$ es compacto (Teorema 2.1 del libro de Raghunathan Subgrupos discretos de grupos de Lie ).

• Si $\Lambda_1, \Lambda_2 \le \mathbf U(\mathbb Q)$ son ambos cocompactos entonces $\Lambda_1 \cap \Lambda_2$ tiene índice finito en ambos (esto es cierto para los abelianos $U$ y cualquier subconjunto que genere la abelianización genera un subgrupo cocompacto).

Todo ello implica que para cualquier $\mathbf U, \Lambda$ como en su pregunta el subgrupo $\mathbf U(\mathbb Z) \cap \Lambda$ tiene un índice finito en $\mathbf U(\mathbb Z)$ . Entonces la respuesta (positiva) a tu pregunta se deduce de la propiedad de subgrupo de congruencia para grupos unipotentes : cualquier subgrupo de índice finito de $\mathbf U(\mathbb Z)$ contiene un subgrupo de la forma $\mathbf U(k\mathbb Z)$ .

Que esto último se cumple se puede demostrar por medios elementales (permítanme dar un esquema: esto es cierto si $U$ es abeliano, y si $\Lambda/[\Lambda, \Lambda]$ contiene la imagen de $\mathbf U(k\mathbb Z)$ en la abelianización entonces $\Lambda$ debe contener $\mathbf U(k^r\mathbb Z)$ donde $r$ es el paso de $U$ ). O probablemente se puede adaptar la prueba en el caso de las matrices triangulares superiores dada en el libro de B. Sury ( El problema de los subgrupos de congruencia: un enfoque elemental orientado a las aplicaciones Teorema 2-5.2) al caso general unipotente.