Es $\overline{\mathbb{R}}^+$ un espacio polaco compacto

Question

Si $X$ se define por $$X= [0,+\infty)\cup\{+\infty\}$$ está dotado de la métrica $$d_X(x,y) = |\arctan(x) - \arctan(y)|$$ ¿Es cierto que el espacio métrico $(X,d_X)$ cumple las siguientes propiedades?

1. separable
2. completo (para esta métrica)
3. compacto.

Me parece que se mantiene, pero no lo he visto escrito explícitamente, así que tengo una duda.

Answer 1

Sí. Con esa métrica es homeomorfo a $[0,1]$ con la métrica habitual, por lo que es compacto, separable y metrizable. Un espacio compacto metrizable es automáticamente completo en toda métrica compatible.