Estaba estudiando el método de la bisección para encontrar la raíz. Dice que para una función continua podemos encontrar una raíz si existe por el teorema del valor intermedio.Mi pregunta es ¿por qué necesitamos la Continuidad de una función? ¿No puedo trabajar con una función que sólo tenga la propiedad del valor intermedio sin ser continua?
Respuesta
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Mark McClure
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En aras de la exhaustividad, mencionamos que una función es Darboux en un intervalo $I$ si tiene la propiedad de valor intermedio. Es decir, para cualquier $a,b\in I$ con $a<b$ y para cualquier $y$ entre $f(a)$ y $f(b)$ Hay un $c$ entre $a$ y $b$ tal que $y=f(c)$ .
Las funciones continuas son Darboux por el teorema del valor intermedio pero hay funciones discontinuas que también son Darboux. Un ejemplo es $$ f(x) = \begin{cases} \cos\left(\frac{2\pi}{x}\right) & x > 0 \\ -\cos\left(\frac{2\pi}{x}\right) & x < 0 \\ 1 & x = 0. \end{cases} $$ cuyo gráfico se ve así:
Creo que es bastante fácil ver que $f$ es Darboux. También hay que tener en cuenta que $$f\left(\pm \frac{1}{k}\right) = \pm 1$$ para todos $k\in\mathbb N$ .
Ahora, si aplicamos el método de bisección sobre el intervalo $[-1,1]$ generamos la siguiente secuencia de intervalos anidados: $$ \begin{aligned} I_0 & = [-1,1], \\ I_1 & = [-1,0], \\ I_2 & = \left[-\frac{1}{2},0\right], \: \: (\text{since } f(0) = 1) \\ \vdots & = \: \: \: \: \vdots \\ I_n & = \left[\frac{1}{2^{n-1}},0\right]. \end{aligned} $$
Ahora podemos ver el problema con bastante claridad. El método de bisección generará una secuencia anidada de intervalos que colapsan hasta un punto (cero en, este caso) pero, sin continuidad, ese punto no tiene por qué ser una raíz de la función.
