Teorema del resto de Lagrange

Question

Utilizando sólo el Teorema del Resto de Lagrange (y sin referencias al Teorema de Abel) demuestre $1 1/2 +1/3 1/4 +1/5 1/6 + ··· = \ln(2)$ .

Según tengo entendido, el Teorema de Lagrange establece que si el resto $f^{(n+1)}(c)x^{n+1}/(n+1)!$ convergen que las series convergen uniformemente.

¿Cómo puedo utilizarlo aquí? ¿Qué es $x$ en este caso? Tengo que $f(x) = \ln(x)$ y en $x=2$ converge, ¿es correcto?

Answer 1

Mira el polinomio de Taylor de $f(x) = \ln x$ en $a = 1$ con la forma de Lagrange del resto. Dado que $f$ es infinitamente diferenciable en $(0,\infty)$ para cualquier $n \ge 1$ y para cualquier $x >0$ tienes

$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k + \frac{f^{n+1}(\xi_n)}{(n+1)!} (x-1)^{n+1}$$ para algunos $\xi_n$ en el medio $1$ y $x$ . Desde $f(1) = 0$ y $$f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{x^k}$$ para todos $x > 0$ puede evaluar la expresión anterior se convierte en $$\ln x = \sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k} (x-1)^k + \frac{(-1)^n}{(n+1) \xi_n^{n+1}}(x-1)^{n+1}.$$

Si $x=2$ entonces $\xi_n \ge 1$ para que $$ \left| \ln x - \sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k} (x-1)^k \right| \le \frac{1}{n+1}.$$ Ahora toma $n \to \infty$ .