¿Se ven afectadas las desigualdades de las normas de los vectores por la elección de la norma

Question

Supongamos que tenemos dos normas,

$p_{1}:V\to{}\mathbb{R}, \qquad{} \text{ and } \qquad{} p_{2}:V\to{}\mathbb{R}$ ,

definido en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ .

Dado que todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes, $p_{1}$ y $p_{2}$ son equivalentes.

Sin embargo, cuando dejamos que $x,y\in{}V$ ¿es también correcto que si $p_{1}(x)\geq{}p_{1}(y)$ entonces $p_{2}(x)\geq{}p_{2}(y)$ ?

Answer 1

No, en general se necesita un escalamiento mayor. Si $c, C > 0$ son constantes para que $cp_1 \le p_2 \le C p_1$ se cumple, entonces $p_1(x) \ge p_1(y)$ implica $$p_2(x) \ge cp_1(x) \ge cp_1(y) \ge \frac{c}{C} p_2(y).$$

Por ejemplo, considere $\mathbb{R}^2$ con $p_1( \cdot) = \| \cdot \|_\infty$ , $p_2(\cdot) = \|\cdot\|_1$ , $x = (1, 0)$ y $y = (1, 1)$ . Entonces $p_1(x) = 1 \ge 1 = p_1(y)$ pero $p_2(x) = 1 < 2 = p_2(y)$ .

Answer 2

No. Toma $V= \mathbb R^2$ , $p_1(x)= \max\{|x_1|,|x_2|\}$ y $p_2(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

Dejemos que $x=(1,1)$ y $y=(1,0)$ . Entonces tenemos

$p_1(x)=1$ y $p_1(y)=1$ . Pero

$p_2(x)=1$ y $p_2(y)=\sqrt{2}$