¿Es este grupo isomorfo a $S_n\times Z_m^n$ ?

Question

Tengo $n$ objetos distintos. Los objetos están ordenados en una fila, y en cada objeto tiene una orientación que es un múltiplo de $2\pi/m$ . Una acción es una permutación arbitraria de los objetos, así como la rotación de algunos objetos.

¿Es este grupo de acciones isomorfo a $S_n\times Z_m^n$ ?

Mi preocupación es que cuando reordenamos los objetos, cada objeto toma su propia orientación al nuevo lugar, por lo que la permutación y la rotación no se siente "independiente" como debería en un producto directo.

(Perdón si es una pregunta fácil, sólo estoy aprendiendo teoría de grupos de la wikipedia).

Answer 1

Parece que el grupo que quieres es el producto de la corona $C_{m} \wr S_{n},$ donde $C_{m}$ es el grupo cíclico de orden $m.$ Este grupo puede visualizarse de varias maneras. Es isomorfo al grupo de todas las matrices monomiales cuyas entradas no nulas son complejas $m$ -raíces de la unidad. (Una matriz monomial es aquella que tiene una entrada no nula en cada fila y una entrada no nula en cada columna). El orden de este grupo es $m^{n}n!,$ que es el orden del grupo que has propuesto, pero el producto de la corona no es un producto directo: es, como se insinúa en los comentarios, un producto semidirecto de un grupo abeliano de orden $m^{n}$ con el grupo simétrico $S_{n}.$ Aquí, el grupo abeliano es un producto directo de $n$ grupos cíclicos de orden $m,$ y $S_{n}$ actúa sobre el grupo abeliano permutando las coordenadas.