La existencia de una métrica de Riemann la inducción de una distancia dada.

Question

Deje $M$ ser suave, finito-dimensional del colector. Supongamos $M$ también es un espacio métrico, con una función de distancia $d: M \times M \rightarrow \mathbb{R}_{+}$, lo cual es compatible con la original (colector) topología en $M$.

Pregunta: ¿hay una métrica de Riemann $g$ $M$ de manera tal que la distancia $$d_g(p, q) = \inf_{\gamma \in \Omega(p, q)} L_g(\gamma)$$ coincide con $d$?

Creo que esta opción es muy estándar, pero por el bien de la integridad: $L_g$ denota la de Riemann de la longitud de la curva de $\gamma$, e $\Omega(p, q)$ el conjunto de todos los tramos de curvas suaves $\gamma : [a, b] \rightarrow M$ s.t. $\gamma(a) = p$ $\gamma(b) = q$. Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que la respuesta es no en general.

Considerar el rol de la métrica en $\mathbb{R}^2$. Que es $d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1+y_2|$. Esta métrica se induce la misma topología en $\mathbb{R}^2$ como el nivel métrico.

Los 2 puntos $(0,0)$ $(a,a)$ $a>0$ son una distancia $2a$ unos de otros en esta métrica. El punto clave es que hay infinitamente muchos más corto "geodesics" entre estos 2 puntos - cualquier monótona imagen de la escalera es un ejemplo de uno.

Por otro lado, es bien conocido consecuencia del Lema de Gauss que, dada una métrica de Riemann, para una lo suficientemente pequeño vecindario alrededor de cualquier punto no son exclusivos de menor geodesics entre 2 puntos en el vecindario.

Pero cualquier barrio de $(0,0)$ contiene al menos un punto de la forma $(a,a)$, por lo que el taxi métrica no puede ser inducida a partir de una métrica de Riemann.

Answer 2

Este es un viejo post y Jason ya dio una satisfactoria (negativa) de la respuesta, pero algunas personas difíciles, no acepta un no por respuesta! Una de esas personas fue A. D. Alexandov que pide (en la década de 1940 o 1950, creo) sobre sintéticos condiciones geométricas en espacios métricos $(M,d)$ que asegurarse de que la función de distancia $d$ proviene de una métrica de Riemann (ninguna hipótesis a priori que la $M$ es homeomórficos un colector!). La primera y más obvia condición necesaria es que la $M$ es localmente compacto (cada topológica del colector, por supuesto, cumple con esta propiedad) y $d$ es una ruta de métrica, yo.e, $$ d(x,y)=\inf_{p} L(p) $$ donde el infimum es tomado a través de la longitud de todas las rutas de $p$ conectar $x$$y$. (El $l_1$-métrica en Jason respuesta no pasan esta prueba.) Cada métrica de Riemann tiene métrica de Riemann tensor (que no tiene ningún sentido para la ruta de acceso general-métricas de los espacios, de curso), así como la (sección transversal) de la curvatura. El último aún no tiene ningún significado en la configuración de la ruta arbitraria-métricas de los espacios. Sin embargo, Alexandrov, se dio cuenta de que para la ruta arbitraria-métrica espacios se pueden definir las nociones de superior e inferior de la curvatura de los límites. Cada colector de Riemann, por supuesto, tiene curvatura localmente delimitado por encima y por debajo (la métrica de Jason respuesta no supera esta prueba). Alexandrov, a continuación, se le preguntó si la existencia de tales límites (más local compacidad) es suficiente para el camino-métrica para ser de Riemann. (En la década de 1930 A. Wald encontrado una métrica de la caracterización de dos dimensiones de Riemann colectores.)

Sorprendentemente, la respuesta a Alexandrov, la pregunta resultó ser positivo:

[1] Si $(M,d)$ es localmente compacto ruta-espacio métrico con la curvatura localmente acotado por arriba y por abajo, a continuación, $M$ es homeomórficos un buen colector $M'$ y que, en este homeomorphism, la función de distancia $d$ es isométrico a la función de distancia procedente de una métrica de Riemann $g$$M'$, a la regularidad de la métrica tensor $g$$C^{1,\alpha}$.

[2] Bajo sintéticos geométrica ", la curvatura de tipo" restricciones a $d$, la métrica $g$ $C^\infty$- suave.

Ver:

[1] I. Nikolaev, la Suavidad de la métrica de espacios con bilateralmente delimitada curvatura en el sentido de A. D. Aleksandrov. Sibirsk. Mat. Zh. 24 (1983), no. 2, 114-132.

[2] I. Nikolaev, Una métrica de la caracterización de los espacios de Riemann. Siberiano Adv. De Matemáticas. 9 (1999), no. 4, 1-58.

Answer 3

Cada espacio métrico compacto de cubrir dimensión $n$ puede ser incrustado isométricamente en $\mathbb{R}^{2n+1}$, por lo que puedo contar. Esto se discute en este MO post. En particular, un compacto, métrica colector puede ser incrustado en esta forma y, a continuación, hereda una métrica de Riemann en el ambiente del espacio Euclidiano.