El cierre de una ultrapotencia genérica

Question

Dejemos que $I$ sea un ideal normal en $P_{\kappa} (\lambda)$ . Sea $V$ denotan nuestro modelo de suelo. Ahora forzamos con el $I$ -conjuntos positivos, y si $G$ es el filtro genérico resultante, se puede demostrar que $G$ es un $V$ -ultrafiltro activado $P_{\kappa} (\lambda)$ ampliando el filtro dual de $I$ , lo cual es normal si $I$ es normal.

Ahora podemos construir el llamado ultrapoder genérico, es decir, construimos dentro de $V[G]$ , $Ult_{G} (V)$ la clase de todas las funciones en $V$ con dominio $\kappa$ y la relación binaria habitual $\in^{\ast}$ . Suponemos que la ultrapotencia genérica está bien fundada, por lo que la identificamos con sus colapsos transitivos $M \cong Ult_{G} (V)$

Mi pregunta ahora es: ¿Es esto $M$ cerrado bajo secuencias de $V[G]$ de longitud $\lambda$ es decir $M^{\lambda} \cap V[G] = M^{\lambda} \cap M$ ?

$M$ es cerrado bajo secuencias de $V$ de longitud $\lambda$ Esto está claro para mí, pero no tengo un buen argumento para las secuencias de $V[G]$ .

Answer 1

Si su ideal es normal, fino, precipitado y tiene la propiedad de desunir (una consecuencia de la saturación), entonces la respuesta es sí. Como probablemente sabes, se necesitan más supuestos de los que habías planteado, sólo para saber que la ultrapotencia está bien fundamentada. La diferencia en el cierre de la ultrapotencia que mencionas parece estar relacionada con la diferencia entre tener la propiedad disyuntiva o no.

Como referencia, recomiendo el capítulo de Matt Foreman para el Handbook of Set Theory, que establece el siguiente teorema (es el Teorema 2.25 en la versión preliminar que tengo aquí, pero el número publicado puede ser diferente).

Teorema. Supongamos que I es un ideal normal, fino y precipitado en $Z\subset P(X)$ , donde $|X|=\lambda$ . Sea $G\subset P(Z)/I$ ser genérico, y $M$ el ultrapoder genérico de $V$ por $G$ . Entonces $P(\lambda)\cap V\subset M$ . Además, si $I$ tiene la propiedad de disociación, entonces $M^\lambda\cap V[G]\subset M$ .

Nótese que este teorema cubre su caso de $Z=P_\kappa(\lambda)$ .

Para demostrar la primera parte, basta con observar que $[id]$ representa $j " \lambda$ y luego para cualquier $A\subset\lambda$ puedes conseguir $j"A$ utilizando la función $g(z)=z\cap A$ . Ahora, desde $j"\lambda$ y $j"A$ puedes construir fácilmente $A$ en $M$ .

Para la segunda parte, la que te interesaba, utilizas la propiedad disyuntiva para saber que un término de un $\lambda$ -secuencia de elementos de $M$ puede transformarse en un $\lambda$ -secuencia de términos en $M$ . Es decir, si $\langle\dot a_\alpha :\alpha<\lambda\rangle$ es un $\lambda$ -secuencia de términos para objetos en $M$ , entonces la disyunción nos permite encontrar en $V$ una secuencia de funciones $\vec g = \langle g_\alpha: \alpha<\lambda\rangle$ tal que $[g_\alpha]^G = \dot a_\alpha^G$ . De ello se deduce que la función $g(z) = \langle g_\alpha(z) | \alpha\in z\rangle$ representa $j(\vec g)(j"\lambda)$ que es $\langle j(g_\alpha)_\beta(j"\lambda) | \beta\in j"\lambda\rangle$ a partir de la cual podemos construir $\langle j(g_\alpha)(j"\lambda) | \alpha <\lambda\rangle$ que es el deseado $\lambda$ -secuencia.