Empezaré con la matriz C que es el producto de las matrices A y B. $$c^i_k = a^i_jb^j_k$$ El determinante de C es $$\frac{1}{3!}\delta_{ijk}^{rst} c^i_rc^j_sc^k_t $$ por la definición de la multiplicación enchufando y reordenando: $$\frac{1}{3!}\delta_{ijk}^{rst} a^i_lb^l_ra^j_mb^m_sa^k_nb^n_t = \frac{1}{3!}\delta_{ijk}^{rst} a^i_la^j_ma^k_nb^l_rb^m_sb^n_t $$ ahora el paso que no estoy seguro es que sé que puedo convertir esto en esto por sí mismo: $$\delta_{ijk}^{rst} = \frac{1}{3!} \delta_{ijk}^{lmn} \delta_{lmn}^{rst} $$ Pero, ¿puedo introducir esto en la ecuación y mezclar los índices ficticios de esta manera para obtener: $$ \frac{1}{3!}\frac{1}{3!} \delta_{ijk}^{lmn} \delta_{lmn}^{rst} a^i_la^j_ma^k_nb^l_rb^m_sb^n_t $$ que debería ser el final de la prueba ya que son los determinantes de A y B multiplicados juntos.
Respuesta
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En tu derivación estás usando la notación de Einstein (o convención de suma de Einstein), y ésta establece que un índice no debe aparecer más de dos veces en cualquier expresión (si aparece una vez, entonces es un índice libre, si dos veces, es un índice ficticio que debes sumar sobre todos sus valores). Ejemplo: $$a_{ki}b_{il}=\sum_\limits{i=1}^na_{ki}b_{il}=a_{k1}b_{1l}+a_{k2}b_{2l}+...+a_{kn}b_{nl} $$ aquí k y l son índices libres e i es un índice ficticio.
Puedes demostrar que det(AB)=det(A).det(B) de esta manera :
$$det(A) = \frac{1}{3!} e^{lmn}e_{ijk} a_l^i a_m^j a_n^k $$
$$det(B) = \frac{1}{3!} e^{rst}e_{opq} b_r^o b_s^p b_t^q $$
y $$e_{lmn} e^{lmn} = 3!$$
$$\frac{1}{3!}e^{lmn}e_{lmn}det(A)=\frac{1}{3!} e^{lmn}e_{ijk} a_l^i a_m^j a_n^k$$ $$e_{lmn}det(A)= e_{ijk} a_l^i a_m^j a_n^k$$ partiendo de det(C) : $$det(C)=det(AB)=\frac{1}{3!}e^{lmn}e_{ijk}(AB)_l^i (AB)_m^j (AB)_n^k=\frac{1}{3!}e^{lmn}e_{ijk}a_o^ib_l^oa_p^jb_m^pa_q^kb_n^q\\ =\frac{1}{3!}e^{lmn}(e_{ijk}a_o^ia_p^ja_q^k)b_l^ob_m^pb_n^q=\frac{1}{3!}e^{lmn}(e_{opq}det(A))b_l^ob_m^pb_n^q=det(A)det(B)$$
