Intuición y/o visualización de la integral de Ito/lema de Ito

Question

Las sumas de Riemann pueden, por ejemplo, visualizarse de forma muy intuitiva mediante rectángulos que se aproximan al área bajo la curva. Véase, por ejemplo Wikipedia:Suma de Riemann

El Ito integral tiene, debido a la variación total no acotada pero a la variación cuadrática acotada, un término extra (a veces llamado término de corrección de Ito). La intuición estándar para esto es un Ampliación de Taylor , a veces La desigualdad de Jensen .

Pero normalmente hay más de una intuición para un fenómeno matemático, por ejemplo, en el artículo de Thurston, "Sobre las pruebas y el progreso de las matemáticas" En este sentido, ofrece siete formas elementales de pensar en la derivada.

Mi pregunta
Podrías darme otras intuiciones para la integral de Ito (y/o el lema de Ito como la llamada "regla de la cadena del cálculo estocástico"). Cuanto más mejor y de diferentes campos de las matemáticas para ver el panorama general y las conexiones. Me interesan especialmente las nuevas intuiciones y las que no son tan conocidas.

Answer 1

Me gustaría añadir otra intuición no tan conocida: es bastante sencillo demostrar el término de corrección de Ito en un árbol binomial.

Los detalles se pueden encontrar en mi documento (p. 8-10):
von Jouanne-Diedrich, Holger: Ito, Stratonovich y sus amigos (21 de abril de 2017)

Resumen
Esta exposición debería proporcionarle la mayor del cálculo estocástico, especialmente de las integrales estocásticas. En desarrolla de forma heurística y pedagógica conceptos e intuiciones clave de uno de los campos más importantes de la matemática aplicada actual, a saber, las finanzas cuantitativas. Desmitifica ideas que normalmente o bien están demasiado simplificadas u ocultas bajo detalles muy técnicos. detalles muy técnicos, por lo que este texto trata de llenar un eslabón perdido en la literatura en el que no parece haber un punto intermedio a día de hoy. Además, el documento da dos resultados que no pueden (hasta donde yo sé) en la literatura clásica: una ilustración de la término de corrección de Ito dentro de los árboles binomiales y una expansión de Taylor para la integral de Stratonovich.

Aquí sólo doy un resumen de la idea general:

Comenzamos con un árbol binomial simple con $n$ pasos y $p=\frac{1}{2}$ . Luego transformamos este árbol con una función convexa, por ejemplo con la función cuadrática.

Después comparamos el valor esperado de este árbol transformado con el cuadrado del valor esperado del árbol original - la diferencia es el término de corrección de Ito.

Todo esto lleva a una identidad conocida : $$\mathbb{E}[X^2]=\mathbb{E}[X]^2+Var[X]$$

Así que en este caso la varianza puede interpretarse como el término de corrección de Ito - una buena correspondencia con el bien conocido $\frac{1}{2}\sigma^2$ -termino en la media de la distribución logarítmica normal .