Intuición y/o visualización de la integral de Ito/lema de Ito

Question

Las sumas de Riemann pueden, por ejemplo, visualizarse de forma muy intuitiva mediante rectángulos que se aproximan al área bajo la curva. Véase, por ejemplo Wikipedia:Suma de Riemann

El Ito integral tiene, debido a la variación total no acotada pero a la variación cuadrática acotada, un término extra (a veces llamado término de corrección de Ito). La intuición estándar para esto es un Ampliación de Taylor , a veces La desigualdad de Jensen .

Pero normalmente hay más de una intuición para un fenómeno matemático, por ejemplo, en el artículo de Thurston, "Sobre las pruebas y el progreso de las matemáticas" En este sentido, ofrece siete formas elementales de pensar en la derivada.

Mi pregunta
Podrías darme otras intuiciones para la integral de Ito (y/o el lema de Ito como la llamada "regla de la cadena del cálculo estocástico"). Cuanto más mejor y de diferentes campos de las matemáticas para ver el panorama general y las conexiones. Me interesan especialmente las nuevas intuiciones y las que no son tan conocidas.

Answer 1

Aquí están mis dos centavos en una explicación intuitiva de la integral de Ito:

La integral de Ito es $\int_S^T f(t,w) dB(t,w)$

Podemos pensar en $B(t,w)$ el movimiento browniano como el precio real (con la media restada) y $f(t,w)$ es una acción comercial aleatoria y su ganancia en los precios observables. En consecuencia, $f(t,w)$ es $F_t$ adaptable, es decir, sólo puede depender de la historia de los precios y no de los precios futuros. Entonces, la integración Ito es la ganancia total de $S$ a $T$ utilizando la acción comercial aleatoria+ganancia $f(t,w)$ .

Answer 2

Otro punto de vista sobre esto:

Normalmente, cuando integramos una función determinista, el tiempo siempre avanza. Así, en una pregunta como $\int_0^t t dt$ o $\int_0^t t^2 dt$ t siempre avanza y las t están totalmente determinadas. Con esto quiero decir que sabemos (en el segundo caso) en todo momento cuál es el valor de $t^2$ es - en 2 tiene el valor 4, en 3 tiene el valor 9, etc. Estamos haciendo una integral de Riemann para obtener el área bajo la curva. $t$ es determinista.

Por otro lado, mira $\int_0^t W_t dW_t$ . Aquí $W_t$ no es determinista. Pero, para las pequeñas $\Delta t$ , $W_t$ cambios por $dW_t$ . Pero eso significa $W_t$ covaría con $dW_t$ . Ahora bien, si $dW_t$ es positivo, entonces $W_t$ sube. Pero, si $dW_t$ es negativo $W_t$ se va al garete. En ambos casos $W_t dW_t$ es positivo y crece con el tiempo.

Así, algo como $\int_0^t W_t dW_t$ crece más rápido" que el determinista $\int_0^t t dt$ ya que existe esta adición positiva cada pequeño $dt$ . Ahí es donde entra el término adicional.

Answer 3

Consideremos el proceso estocástico

$$f(B_t)$$

donde $B_t$ es el movimiento browniano estándar (o el proceso de Wiener) y $f$ es una función dos veces diferenciable.

El lema de Ito establece que

$$df = f'(B_t) dB_t + \frac{1}{2} f''(B_t) dt$$

El primer término es reconocible por la regla de la cadena en el cálculo clásico, pero ¿por qué el segundo término? Si $dB_t$ es realmente infinitesimal, ni siquiera parece posible que $df \neq f'(B_t) dB_t$ .

Para entender el lema de Ito de forma intuitiva, piense en $dB_t$ como una pequeña variable estocástica, especificando $B_t$ durante el próximo $dt$ .

$$dB_t = B_t - B_{t+dt} \sim N(0,dt)$$

Esto modela completamente el movimiento browniano (o el proceso de Wiener). Ahora $df$ debe ser una pequeña variable estocástica también, modelando el proceso estocástico $f(B_t)$ .

La imagen del principio considera un ejemplo $f(B_t)$ donde $f'(B_t)=0$ suprimiendo así el término "intuitivo" o clásico del lema de Ito. La razón por la que $df>0$ en esa imagen es la razón por la que se necesita ese término "no intuitivo".

En términos generales, dondequiera que $f$ tiene curvatura, $dB_t$ se difundirá alrededor de esa curvatura lo suficiente como para influir en el resultado esperado del orden de $dt$ . (El ejemplo concreto de la imagen hace que esto sea trivial, ya que $f(\sqrt{t}) = t$ .)

¿Por qué no $dB_t$ dominar lejos $(dB_t)^2$ (es decir $dt$ )? Porque $E[(dB_t)^2]$ no proviene de $(E[dB_t])^2$ como ocurre con los diferenciales clásicos. La ley fuerte de los grandes números implica que el valor esperado de una diferencial estocástica empuja su integral en un orden más rápido que su desviación.

Answer 4

Supongamos que le preguntas a un físico, si una partícula está en x = t^2. Ahora le preguntas dónde está la partícula un tiempo arbitrariamente pequeño justo antes de t = 1.

Los físicos siempre se limitan a hacer una expansión de Taylor alrededor del punto t = 1, y luego dicen que podemos ignorar los términos de segundo orden. Así, dx/dt = 2t, y sabemos que en t = 1 la partícula está en x = 1. Entonces, la lógica dice que si estás a una pequeña z de t = 1, la partícula está a 1 + 2z.

Esa es la regla determinista. El problema para el mundo estocástico es que la misma lógica no se sostiene. Si se está arbitrariamente cerca de x = 1 (en sentido amplio) en t = 1 - z, creo que el problema es que P(X no se moverá muy lejos en el diminuto tiempo que queda) no cae tan rápidamente como los términos de Taylor de segundo orden debido a la variación de un proceso estocástico, por lo que no se puede ignorar. La fórmula de Ito ajusta esta pequeña rareza.

Answer 5

Me gusta interpretar la integral de Ito como el resultado de una estrategia de juego (lo que encaja bien con la propiedad fundamental de la Integral: es decir, que es visión de futuro ). En general, una integral estocástica puede escribirse como

$$I_t:=\int_{h=0}^{h=t}Y_hdX_h=\lim_{n \to\infty}\sum_{h=0}^{n-1}Y_h\left(X_{h+1}-X_h\right)$$

Por encima, el límite está en la probabilidad, $X_t$ es un proceso estocástico (no necesariamente tiene que ser un proceso de Wiener estándar) y $Y_t$ es un proceso cuadrado-integrable (obviamente, no necesita ser estocástico).

Interpreto el integrador $X_t$ como el resultado del juego, mientras que el integrando $Y_t$ es la estrategia de apuestas ( por eso el integrador tiene visión de futuro por diseño es decir, el apostante que realiza su apuesta en el momento $t$ no puede ver todavía el resultado del juego, que sólo se realiza en la siguiente instancia en el tiempo).

Un simple ejemplo ilustrativo: supongamos que $H_t$ representa un lanzamiento de moneda para cada t (es decir $H_t\in\left\{−1,1\right\}$ con una probabilidad de 0,5, $H_0:=0$ , $X_t:=\sum_{i=0}^{i=t}H_i$ ) y $Y_t=1$ . Entonces una "integral estocástica discreta" podría definirse como $$I_{t=10}=\sum_{h=0}^{9}1\left(X_{h+1}-X_h\right)$$

Esta cantidad calcula el resultado de un juego de azar después de 10 rondas de apuestas, donde cada ronda el apostador apuesta consistentemente 1 unidad de moneda, y puede ganar o perder la cantidad que él / ella apuesta (obviamente lo anterior es una suma finita, es sólo para fines ilustrativos para construir la intuición).

Seguir adelante, tomar $X_t=W_t$ et $Y_t=W_t$ interpreto la integral de Ito:

$$I_t:=\int_{h=0}^{h=t}W_hdW_h=\lim_{n \to\infty}\sum_{h=0}^{n-1}W_h\left(W_{h+1}-W_h\right)$$

como el resultado de una quiniela, en la que inicialmente el apostante apuesta $W_0:=0$ pero en cada momento posterior, el apostante apuesta la suma realizada (hasta ese momento) de los incrementos brownianos $W_{h+1}−W_h$ . Estos incrementos brownianos son al mismo tiempo el pago del juego (por lo que el juego paga la última apuesta del apostante multiplicada por la siguiente realización del incremento browniano).

En tiempo continuo, el apostante ajusta constantemente su apuesta al nivel "actual" del movimiento browniano $W_t$ que actúa como integrador: es decir, la quiniela paga el browniano realizado $W_t$ en cada momento multiplicado por la apuesta del apostante correspondiente al última realización observada de $W_t$ .

Por último, si el integrador es algún proceso de precio de las acciones $S_t$ en lugar de $W_t$ y $Y_t$ es el número de acciones mantenidas (podría ser simplemente una cantidad constante y determinista), entonces interpreto la correspondiente Integral Estocástica $I_t:=\int_{h=0}^{h=t}ydS_h$ como el beneficio o la pérdida de esa cartera de acciones a lo largo del tiempo.

(la respuesta anterior está tomada de una respuesta similar que di hace un tiempo a una pregunta diferente en Quant SE).