Intuición y/o visualización de la integral de Ito/lema de Ito

Question

Las sumas de Riemann pueden, por ejemplo, visualizarse de forma muy intuitiva mediante rectángulos que se aproximan al área bajo la curva. Véase, por ejemplo Wikipedia:Suma de Riemann

El Ito integral tiene, debido a la variación total no acotada pero a la variación cuadrática acotada, un término extra (a veces llamado término de corrección de Ito). La intuición estándar para esto es un Ampliación de Taylor , a veces La desigualdad de Jensen .

Pero normalmente hay más de una intuición para un fenómeno matemático, por ejemplo, en el artículo de Thurston, "Sobre las pruebas y el progreso de las matemáticas" En este sentido, ofrece siete formas elementales de pensar en la derivada.

Mi pregunta
Podrías darme otras intuiciones para la integral de Ito (y/o el lema de Ito como la llamada "regla de la cadena del cálculo estocástico"). Cuanto más mejor y de diferentes campos de las matemáticas para ver el panorama general y las conexiones. Me interesan especialmente las nuevas intuiciones y las que no son tan conocidas.

Answer 1

Me parece que la explicación intuitiva de Paul Wilmott especialmente atractiva.

Arreglar un pequeño $h>0$ . La integral estocástica $$\int_0^{h} f(W(t))\ dW(t)=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{j=1}^{N} f\left(W(t_{j-1})\right)\left(W(t_{j})-W({t_{j-1}})\right),\quad t_j= h\frac{j}{N},$$ consiste en sumar un número infinito de variables aleatorias. Sustituyamos cada término $f\left(W(t_{j-1})\right)$ con su expansión formal de Taylor. Entonces hay varias contribuciones a la suma: las que son una suma de variables aleatorias y los que son una suma de los cuadrados de las variables aleatorias y luego están términos de orden superior .

Si se suma un gran número de variables aleatorias independientes, entra en juego el Teorema del Límite Central, y el resultado final es una variable aleatoria con distribución normal. Calculemos su media y su desviación estándar.

Cuando sumamos $N$ términos que son normales, cada uno con una media de $0$ y una desviación estándar de $\sqrt{h/N}$ terminamos con otra normal, con una media de $0$ y una desviación estándar de $\sqrt{h}$ . Este es nuestro $dW$ . Obsérvese cómo el $N$ desaparece en el límite.

Ahora, si sumamos los $N$ cuadrados de los mismos términos normales entonces obtenemos algo que se distribuye normalmente con una media de $$N\left(\sqrt{\frac{h}{N}}\right)^2=h$$ y una desviación estándar que es $h\sqrt{2/N}.$ Esto tiende a cero a medida que $N$ se hace más grande. En este límite terminamos con, en cierto sentido, nuestro $dW^2(t)=dt$ porque la aleatoriedad medida por la desviación estándar desaparece dejándonos sólo con la media $dt$ .

Los términos de orden superior tienen medias y desviaciones estándar demasiado pequeñas, desapareciendo rápidamente en el límite como $N\to\infty$ .

Answer 2

Sé que este hilo tiene ya dos años, pero, mientras preparaba un examen de integración de trayectorias, llegué a una imagen intuitiva que arroja algo de luz sobre el origen del término extra. La imagen representa una integral de una función suave con respecto a una realización concreta del movimiento browniano. La suma de las áreas de los rectángulos verdes representa la diferencia entre Ito (utilizando el punto izquierdo de cada intervalo) y "anti-Ito" (utilizando el punto derecho de cada intervalo) para el muestreo del movimiento browniano representado por la línea roja. Un muestreo más fino da lugar a rectángulos más pequeños, pero se superponen cada vez más (porque el movimiento browniano no es monótono), por lo que aunque el área ocupada por ellos tiende a cero, la suma de sus áreas no lo hace. Esto sugiere (sólo sugiere -- es un límite superior de la diferencia, no un límite inferior) que hay un "espacio" para que Ito y "anti-Ito" difieran en sus valores. Es de esperar que Stratonovich se encuentre en algún punto intermedio.

Mira la siguiente imagen:

https://lh6.googleusercontent.com/-bEPzm01WyGk/T-WplGQAc3I/AAAAAAAAACQ/mZr-5p0VUrw/s317/integral-wrt-brownian-motion.png

                

Answer 3

Encontré esta explicación en algún lugar y la anoté en mis notas personales. Lo explicaré con un ejemplo que creo que ejemplifica por qué Riemann-Stieltjes proporcionará la respuesta incorrecta.

En primer lugar, recordemos cómo podemos definir la integral de Riemann-Stieltjes a continuación

\begin{equation}\int_0^t Z(x)dZ(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n(Z(t_k)-Z(t_{k-1}))Z(t_{k-1})\tag{*}\end{equation}

donde $0=t_1<t_2<...<t_n=t$ cuando $n\rightarrow\infty$ , $(t_k-t_{k-1})$ va a cero y $Z(x)$ es continua y tiene una variación acotada. La integral de Ito se puede definir de la misma manera (suponiendo que $Z(t)$ para ser cualquier trayectoria browniana). Por lo tanto, en esta definición elemental no hay realmente ninguna diferencia, es sólo que cada uno está tratando con diferentes tipos de funciones. Pero las reglas de integración serán diferentes.

Podemos reescribir los términos de la suma como

$$\sum_{k=1}^n(Z(t_k)-Z(t_{k-1}))Z(t_{k-1})=\frac{1}{2}Z(t)^2-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(Z(t_k)-Z(t_{k-1}))^2$$

Para ejemplificar, supongamos ahora que $Z(x)=x$ . Sabemos cómo resolver la integral en este caso, esto es $0.5t^2$ como en el primer término de la RHS anterior. Lo que ocurre con esta función es que podemos ignorar el segundo término de arriba, ya que irá a cero (prueba a parear $[0,t]$ con $t_k=kt/n$ por ejemplo). Esto se debe a que $Z(x)=x$ tiene una variación limitada.

¿Por qué no podemos simplemente hacer esto si $Z(t)$ ¿es una trayectoria browniana? El problema aquí es que $\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(Z(t_k)-Z(t_{k-1}))^2$ no se pondrá a cero cuando $n\rightarrow \infty$ . De hecho,

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(Z(t_k)-Z(t_{k-1}))^2=t$$

Esto es así porque estamos considerando infinitas realizaciones de una variable normal con varianza $t_k-t_{k-1}$ como $n$ va al infinito. El límite de la trayectoria browniana anterior no llega a cero porque no satisface la variación acotada.

Por eso, aunque la integración de Ito y Riemann-Stieltjes parten de la misma definición (*) los resultados son muy diferentes. Si $Z(x)$ es un movimiento browniano obtenemos:

$$\int_0^t Z(x)dZ(x)=\frac{1}{2}Z(t)^2-\frac{1}{2}t$$

Mientras que si $Z(x)$ es una función continua con variación acotada obtenemos

$$\int_0^t Z(x)dZ(x)=\frac{1}{2}Z(t)^2$$

Answer 4

Robert Anderson utilizó el análisis no estándar para generar un movimiento browniano a partir de un paseo aleatorio finito obtenido a partir del lanzamiento de una moneda, donde "finito" significa indexado por un número natural infinito no estándar. El paseo aleatorio correspondiente tiene una variación acotada bajo un límite no estándar. Entonces se puede hacer todo en términos de dicho paseo aleatorio, como se ha hecho antes sin una justificación rigurosa. La integral de Itô puede obtenerse a partir de una integral de Stiltjes sobre el paseo aleatorio, sólo difieren en un infinitesimal. Se puede encontrar un resumen de los argumentos aquí . Para conocer los detalles, consulte:

MR0464380 (57 #4311) Anderson, Robert M. A non-standard representation for Brownian motion and Itô de Itô. Israel J. Math. 25 (1976), no. 1-2, 15--46.

Answer 5

Una forma de mejorar la intuición es elaborar un par de

Versiones discretas del lema de Ito

1. Øksendal (6ª edición) Ejemplo 3.1.9: casi seguro, $$ B_t^2 - t = \int_0^t 2B_s dB_s $$

Esto tiene una versión discreta que se mantiene en todas partes: dejemos que $X_n=\pm 1$ et $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ entonces $$ S^2_n-n = 2\sum_{i=0}^{n-1} S_i X_{i+1} $$ Para comprobarlo basta con observar que ambos lados aumentan en $2S_{n-1}X_n$ al pasar de $n-1$ a $n$ .

2. Ejercicio de Øksendal 4.2: $$ B_t^3 = \int_0^t 3B_s ds + \int_0^t 3B_s^2 dB_s $$

En este caso, la versión discreta no es un análogo perfecto: $$ S_n^3 - S_n = 3\sum_{i=0}^{n-1} (S_i + S_i^2 X_{i+1}) $$ El término extra $S_n$ parece estar relacionado con el hecho de que $(dB_t)^3 = 0$ .