Encontrar el mínimo valor posible de $n+z^3$

Question

Dejemos que $z$ et $z+1$ sean números complejos tales que $z$ et $z+1$ son ambos $n^{\text{th}}$ raíces complejas de $1$ . Si $n$ es un múltiplo de $5$ , calcula el valor mínimo de $n+z^3$ .

Lo que empecé fue $(\operatorname{cis}\theta)^n=(\operatorname{cis}\theta+1)^n=1$ .

Simplificando el lado derecho, tengo que $(\operatorname{cis}\theta)^n=\left(\sqrt{2+2\cos\theta}\operatorname{cis}\frac{\theta}{2}\right)^n=1$ . No sabía qué hacer a continuación así que decidí equiparar los módulos para ver qué obtenía. Obtuve que $\theta=\frac{2\pi}{3}$ o $\theta=\frac{4\pi}{3}$ . Sin embargo, no sé qué hacer con esos valores o incluso si estoy haciendo lo correcto.

Se agradecerá cualquier consejo.

Answer 1

No pasa nada. Tenga en cuenta que $z^3=1$ en ambos casos (porque $z^3$ tiene el módulo 1 y el argumento $2\pi$ o $4\pi$ ).

Esto significa que $3\mid n$ . Pero si $z+1$ es la enésima raíz, entonces $2\mid n$

Entonces $n+z^3$ es constante $n+1$

Ahora, el min de $n$ es 2.3.5=30 y tenemos que 31 es la respuesta

Answer 2

Una forma diferente de encontrar a los candidatos para $z$ et $z+1$ es notar que están a una distancia de uno en una línea horizontal sin embargo ambos tienen que estar en el círculo unitario. Resulta que el encaje de un triángulo equilátero con un vértice en el centro del círculo y los otros dos en el círculo se ajusta a lo que se necesita.

Esto hace que los valores de z sean un tercio alrededor del círculo o dos tercios alrededor del círculo, como has descubierto. Los dos posibles $z$ son raíces cúbicas de la unidad. Las correspondientes $z+1$ son raíces sextas de la unidad. Las raíces del cubo son automáticamente raíces sextas, así que las cuatro son raíces sextas.

De manera similar, también son $n^{th}$ raíces cuando $n$ es un múltiplo de 6.

Eso, junto con lo que dijo MVV, debería permitirte resolver esto fácilmente.

Espero que esto ayude.

Ced