¿Qué supuestos son necesarios para la compacidad y la autoadhesión?

Question

Estoy estudiando análisis funcional y me he atascado con un ejercicio del libro de texto. ¡Aprecio mucho algunos consejos/ayuda o un empujón en la dirección correcta!

Definir para $g\in C^0[-1,1]$ el operador integral $T_g:L^2\to L^2$ , por $$T_g(f)(s):=\int_0^1g(s-t)f(t)dt$$ Ahora necesito oponer condiciones a $g$ tal que $T_g$ se convierte en un operador compacto autoadjunto.

Mi progreso: Primero para que veamos cuando $T_g$ es autoadjunto. Así que queremos algunas condiciones tales que: $\langle T_g(f)(s),h(s)\rangle=\langle f(s), T_g(h)(s)\rangle$ . Para el lado izquierdo obtenemos lo siguiente: $$\langle T_g(f)(s),h(s)\rangle=\int_0^1T_g(f)(s)\overline{h(s)}ds=\int_0^1\int_0^1g(s-t)f(t)\overline{h(s)}dtds$$ Y para el lado derecho obtenemos lo siguiente: $$\langle f(s), T_g(h)(s)\rangle=\int_0^1f(s)\overline{T_g(h)(s)}ds=\int_0^1 \int_0^1f(s)\overline{g(s-t)} \overline{h(t)}dsdt$$ Bueno, ahora no estoy seguro de que pensé que $\overline g=g$ es la única condición para $T_g$ para ser autoadjunto. Ahora para la compacidad:

Quería elegir un subconjunto acotado $M \subset L^2$ y demostrar que $T_g(M) $ es compacto. Para ello quiero demostrar que $T_g(M)$ es cerrada, acotada y equicontigua. No tengo una buena idea/intuición sobre cómo demostrar estas propiedades con la información que tengo.

¡Puede alguien ayudarme a resolver este ejercicio, creo que es un ejercicio del que puedo aprender mucho y conseguir un mejor entendimiento! :)

Answer 1

Para $T_g$ para ser autoadjunto, se necesita $$\tag1 \int_0^1\int_0^1g(s-t)f(t)\overline{h(s)}\,dt\,ds=\int_0^1\int_0^1\overline{g(s-t)}f(s)\overline{h(t)}\,dt\,ds, $$ para todos $f,h\in L^2[0,1]$ . Cambiar los nombres de $s$ et $t$ , $$\tag2 \int_0^1\int_0^1\big[g(s-t)-\overline{g(t-s)}\big]f(s)\overline{h(t)}\,dt\,ds=0 $$ para todos $f,h\in L^2[0,1]$ . Dado un rectángulo cualquiera $R=E\times F$ tenemos $1_R(s,t)=1_{E}(s)\,1_{F}(t)$ . Así que $$\tag3 \iint_R\big[g(s-t)-\overline{g(t-s)}\big]\,dt\,ds=0 $$ para todo rectángulo medible $R=E\times F$ . Por Diferenciación de Lebesgue (o ver otro argumento aquí ), $g(s-t)-\overline{g(t-s)}$ a.e. Como $g$ es continua, esto es lo mismo que $$\tag4 g(t)=\overline{g(-t)},\qquad t\in[-1,1]. $$

En cuanto a la compacidad, la continuidad de $g$ garantiza que $T$ es siempre compacto. De hecho, la continuidad no es realmente necesaria, ya que una condición suficiente es que $\tilde g\in L^2[0,1]^2$ , donde $\tilde g(s,t)=g(s-t)$ (véase, por ejemplo, la Proposición II.4.7 de la obra de Conway Un curso de análisis funcional ). En el caso de que $g$ es continua, se puede hacer una prueba más o menos directa. En efecto, supongamos primero que $g(t)=t^k$ . Entonces $$\tag5 (T_gf)(s)=\int_0^1(s-t)^k\,f(t)\,dt=\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom kj s^j\int_0^1t^{k-j}\,f(t)\,dt. $$ El lado derecho es un polinomio en $s$ . Así que el rango de $T_g$ está contenido en el conjunto (de dimensión finita) de polinomios de grado máximo $k$ . Cuando $g$ es un polinomio, $T_g$ es una combinación lineal de operadores de la forma $(5)$ por tanto, de rango finito, ya que una combinación lineal de rango finito es de rango finito.

Ahora, para un continuo arbitrario $g$ existe una secuencia $\{g_n\}$ de polinomios con $\|g-g_n\|_\infty\to0$ . Entonces \begin{align} \|T_gf-T_{g_n}f\|_2^2 &=\int_0^1\Big|T_gf(s)-T_{g_n}f(s)\Big|^2\,ds\\[0.3cm] &=\int_0^1\Big|\int_0^1 \big[g(s-t)-g_n(s-t)\big]\,f(t)\,dt\Big|^2\,ds\\[0.3cm] &\leq\int_0^1\Big(\int_0^1 \big|g(s-t)-g_n(s-t)\big|\,|f(t)|\,dt\Big)^2\,ds\\[0.3cm] &\leq\|g-g_n\|_\infty^2\,\int_0^1\Big(\int_0^1 |f(t)|\,dt\Big)^2\,ds\\[0.3cm] &=\|g-g_n\|_\infty^2\,\Big(\int_0^1 |f(t)|\,dt\Big)^2\\[0.3cm] &\leq\|g-g_n\|_\infty^2\,\int_0^1 |f(t)|^2\,dt\\[0.3cm] &=\|g-g_n\|_\infty^2\,\|f\|_2^2. \end{align} De ello se desprende que $T_g=\lim_nT_{g_n}$ y así $T_g$ es compacto ya que es un límite de operadores de rango finito.