¿Qué es la matriz de densidad reducida?

Question

La diferencia entre los estados puros y mixtos es la diferencia en la estructura de su matriz de densidad.

Para la matriz de densidad $\rho$ de estado mixto el rastro de $\rho^{2}$ debe ser inferior a 1. Para el estado puro correspondiente a la traza $Tr(\rho^{2}) = 1$ .

Pero cuando intenté comprobar el estado de los dos qubits de Bell, obtuve $$ \rho = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ $$ \rho^{2} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ cuyo rastro es igual a 1. Según tengo entendido, matriz de densidad reducida es la descripción correcta de los estados de la campana. Pero mi matriz no es reducida. ¿Puede explicarme cómo encontrar la matriz reducida del estado de campana?

Answer 1

La matriz reducida se define como la traza parcial de la matriz de densidad.

Dejemos que $A$ , $B$ sean espacios de Hilbert de dimensión finita, y que haya un $T$ tal que $T \in$ $L(A \otimes B)$ (es decir, $T$ es un operador lineal en $A \otimes B$ ), entonces la traza parcial de T, representada como $\rm{Tr}_B [T]$ en $L(A)$ se define por:

\begin{equation} \langle a | \rm{Tr}_B [T]| b \rangle = \sum_n \langle a | \langle n | T| n\rangle | b \rangle \end{equation}

donde $| n \rangle$ es una base ortonormal en $B$ y $|a\rangle, |b\rangle$ son vectores en $A$ .

Por último, hay que tener en cuenta que la matriz reducida no es la correcto forma de describir un estado cuántico, es sólo una forma de describirlo como se ve al observar sólo un subsistema. Esto suele implicar ignorar parte de la información del estado; por tanto, la matriz de densidad reducida de un estado puro puede ser un estado mixto. Esto es espectacular para los estados de Bell, ya que su matriz reducida es $\rm{Id}/2$ el estado más desordenado.

Answer 2

La matriz de densidad reducida se puede encontrar tomando la traza sobre los subespacios del espacio de Hilbert que representan sistemas que no te interesan. Para el estado de Bell, la matriz de densidad de todo el sistema es $$\tfrac{1}{2}(|00\rangle+|11\rangle)(\langle 00|+\langle 11|)\\ = \tfrac{1}{2} (|00\rangle\langle 00|+|00\rangle\langle 11|+|11\rangle\langle 00|+|11\rangle\langle 11|)\\ \tfrac{1}{2}(|0\rangle\langle 0|\otimes|0\rangle\langle 0|+|0\rangle\langle 1|\otimes|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 0|\otimes|1\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\otimes|1\rangle\langle 1|)$$ .

Así que para obtener la matriz de densidad reducida para el primer qubit se toma la traza sobre el espacio de Hilbert para el segundo qubit. Se toman todos los términos que tienen $|0\rangle\langle 0|$ ou $|1\rangle\langle 1|$ para el segundo qubit, desechar el resto y luego sólo tomar las partes de esos términos que se refieren al primer qubit. Esto da como resultado $$\rho_1 = \tfrac{1}{2}(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|),$$ y $tr(\rho_1^2)<1$ .

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Para más detalle y rigor, debería leer "Quantum Computation and Quantum Information" de Nielsen y Chuang.