Es importante que cuando se estudien las matemáticas se haga con la siguiente perspectiva
Los matemáticos permiten objetos de fantasía inútiles no computables
Los matemáticos suelen elegir vivir en un mundo en el que el axioma de elección es verdadero para conjuntos de tamaño el continuo. Esto es una idiotez por muchas razones, incluso para ellos, pero es especialmente idiota para la física. Hay argumentos intuitivos fáciles que establecen que todo conjunto tiene un volumen, o medida de Lebesgue, y van así:
Dado cualquier conjunto S en una caja grande B, elige puntos al azar y considera cuándo caen en S. En el límite de muchos lanzamientos, definir que la medida de S sea el volumen de B por la fracción de puntos que caen en S. W
Esta definición no está permitida en matemáticas, porque el concepto de elegir un punto al azar requiere tomar un límite del proceso aleatorio de elegir los dígitos al azar. El proceso aleatorio límite debe definirse por separado de los procesos de aproximación dentro de las matemáticas habituales, ¡incluso cuando las aproximaciones convergen casi siempre a una respuesta única! La única razón de esto es que hay construcciones de axiomas de elección de conjuntos no medibles, de modo que no se puede permitir el argumento anterior. Esto conduce a muchas convenciones engorrosas que impiden la comprensión.
Si lees matemáticas, ten en cuenta que cada conjunto de números reales es realmente medible, que cada ordinal es realmente contable (incluso los que pretenden ser incontables se convierten en contables en los modelos reales de la teoría de conjuntos), y que todos los resultados fantásticos de las matemáticas provienen de la asignación de los números reales a un ordinal. Cuando se mapean los números reales a un ordinal, se pretende que algún modelo de teoría de conjuntos, que es secretamente contable por el teorema de Skolem, contiene todos los números reales. Esto hace que el conjunto de los números reales sea secretamente contable. Esto no conduce a una paradoja si no te permites elegir números reales al azar, porque todos los números reales para los que puedes hacer símbolos son contables, porque sólo hay muchos símbolos contables. Pero, si revelas esta contabilidad admitiendo un símbolo que represente un mapa uno a uno entre algún ordinal y los números reales, obtienes los teoremas de Vitali sobre conjuntos no medibles. Estos teoremas pueden nunca impacto en la física, porque estos "teoremas" son falsos en toda interpretación real, incluso dentro de las matemáticas.
Por ello, básicamente puedes ignorar lo siguiente:
- Topología avanzada de conjuntos de puntos--- los resultados no triviales de la topología de conjuntos de puntos son inútiles, porque a menudo están analizando la estructura de elección del continuo. Los resultados triviales no son más que la reformulación de propiedades elementales de continuidad en lenguaje de teoría de conjuntos. Todo el campo está en bancarrota. Lo único útil en él es el estudio de topologías sobre conjuntos discretos.
- Teoría elemental de la medida: aunque la teoría avanzada de la medida (probabilidad) es muy importante, los tratamientos elementales de la teoría de la medida se refieren básicamente a la fantasía de que hay conjuntos no medibles. Nunca hay que demostrar que un conjunto es medible, porque todos los conjuntos son medibles. Ignora esta parte del libro y pasa directamente a las partes avanzadas.
Las matemáticas discretas son importantes
Esto es un poco difícil de entender para los físicos al principio, porque se imaginan que las matemáticas continuas son todo lo que se necesita para la física. Eso es una tontería. El verdadero trabajo de las matemáticas está en los resultados discretos, los resultados continuos son a menudo sólo pálidas sombras de relaciones combinatorias mucho más profundas.
La razón es que el continuo está definido por un proceso límite, en el que se toma algún tipo de estructura discreta y se completa. Puedes tomar una red y hacerla más fina, o puedes tomar los racionales y considerar cortes Dedekind, o puedes tomar expansiones decimales, o secuencias de Cauchy, o lo que sea. Siempre es a través de una estructura discreta que se completa.
Esto significa que toda relación sobre números reales es en realidad una relación sobre estructuras discretas que es verdadera en el límite. Por ejemplo, la solución de una ecuación diferencial
$${d^2x\over dt^2} = - x^2$$
Es realmente una relación asintótica para las soluciones de las siguientes aproximaciones discretas
$$ \Delta^2 X_n = -\epsilon x_n^2$$
La cuestión es, por supuesto, que muchas aproximaciones discretas diferentes dan el mismo objeto continuo exacto. Esto se llama "existencia de un límite del continuo" en matemáticas, pero en física estadística se llama "universalidad".
Al estudiar las ecuaciones diferenciales, las estructuras discretas son demasiado elementales para que la gente las recuerde. Pero en la teoría cuántica de campos, no hay ninguna definición continua en este momento. Debemos definir la teoría cuántica de campos mediante algún tipo de modelo reticular de forma explícita (esto siempre será así, pero en el futuro, la gente disfrazará la estructura discreta subyacente para enfatizar las relaciones asintóticas universales, como hacen con las ecuaciones diferenciales). Así que ten en cuenta la traducción entre los resultados continuos y los discretos asintóticos, y que los resultados discretos son realmente los más fundamentales.
Así que hacer estudio, en la medida de lo posible:
- Teoría de grafos: especialmente resultados asociados a la escuela de Erdos
- Teoría de grupos discretos: esto también es importante, aunque las partes avanzadas nunca salen a relucir.
- Combinatoria: los resultados asintóticos son esenciales.
- Probabilidad: Esta es la más difícil de recomendar porque la literatura es muy confusa. Pero, ¿qué se puede hacer? Lo necesitas.
No estudiar versiones matemáticas de cosas que se desarrollaron primero en la física
Los matemáticos no hicieron un buen trabajo al trasladar las matemáticas desarrolladas en la física a las matemáticas. Así que se pueden ignorar los siguientes campos de las matemáticas:
- La relatividad general: Lee a los físicos, ignora a los matemáticos. No tienen nada que decir.
- Procesos estocásticos: Lee a los físicos, ignora a los matemáticos. Ellos no entienden realmente las integrales de trayectoria, así que no tienen nada que decir. La utilidad de esto para las finanzas ha tenido un efecto nocivo, ya que los libros se han ofuscado a propósito para disfrazar los resultados elementales. Todos los resultados están en la literatura de física en algún lugar en la forma más útil.
- Campos cuánticos: Lean a los físicos, especialmente a Wilson, Polyakov, Parisi, y esa generación. Ellos realmente resolvieron el problema. Los matemáticos son inútiles. Connes-Kreimer son una excepción a esta regla, tal cual, pero están reviviendo resultados de Zimmermann que no creo que nadie, excepto Zimmermann, haya entendido nunca. Atiyah/Segal sobre los campos topológicos también es importante, y Kac bien podría ser un físico.
La física es la ciencia de las cosas que están muertas. No tiene lógica.
Hay muchos resultados en matemáticas que analizan la naturaleza general de un cálculo. Estos cómputos están vivos, pueden ser tan complejos como se quiera. Pero a la física le interesa el mundo muerto, las cosas que tienen una descripción sencilla en términos de un pequeño cómputo. Cosas como el sistema solar, o un cristal de sal.
Así que no tiene sentido estudiar lógica/computación/teoría de conjuntos en física, ni siquiera la utilizarás. Pero creo que esto es una falta de visión, porque la lógica es uno de los campos más importantes de las matemáticas, y es importante por sí misma. Por desgracia, la literatura de la lógica es más opaca que cualquier otra, aunque Wikipedia y math-overflow ayudan.
- Lógica/computación/teoría de conjuntos: Nunca la usarás, pero estúdiala de todos modos.
