Momentos del producto del movimiento browniano en tiempos $0 < u < u + v < u + v + w,$ donde $u, v, w > 0$

Question

Lo siguiente es de Pinsky & Karlin's $\textit{Introduction to Stochastic Modelling}$ :

Consideremos un movimiento browniano estándar $\{B(t); t 0\}$ a veces $0 < u < u + v < u + v + w,$ donde $u, v, w > 0.$

(a) Evaluar el momento del producto $\mathbb{E}[B(u)B(u + v)B(u + v + w)]$ .

(b) Evaluar el momento del producto $\mathbb{E}[B(u)B(u + v)B(u + v + w)B(u + v + w + x)]$ donde $x > 0$ .

He intentado abordar esta cuestión separando los movimientos brownianos: $$B(u+v) = B(u) + (B(u+v) - B(u)) $$ y $$ B(u+v+w) = B(u) + (B(u+v) - B(u)) + (B(u+v+w) - B(u+v))$$ y luego sustituirlos de nuevo en la expectativa.

De donde obtuve lo siguiente:

$E[B(u) B(u+v) B(u+v+w)] = E[ B(u) (B(u) + (B(u+v) - B(u))) (B(u)$

$\hspace{6.3cm}$$ + (B(u+v) - B(u)) + (B(u+v+w) - B(u+v)) ]$

Pero estoy atascado en este punto.. ¿Cómo puedo proceder desde aquí para la parte (a)? Además, para la parte (b), ¿el enfoque es el mismo que el anterior? Gracias y algunas aclaraciones serán geniales.

Answer 1

Pistas:

1. Recordemos que los siguientes procesos son martingales: $B_t$ , $B_t^2-t$ , $B_t^3-3tB_t$ .
2. Deducir de la propiedad de la torre que $$\mathbb{E}(B(u)B(u+v)B(u+v+w)) = \mathbb{E}(B(u) B(u+v) \underbrace{\mathbb{E}(B(u+v+w) \mid \mathcal{F}_{u+v})}_{B(u+v)}).$$
3. Otra aplicación de la propiedad de la torre da como resultado $$\mathbb{E}(B(u)B(u+v)B(u+v+w)) = \mathbb{E}(B(u) \underbrace{\mathbb{E}(B(u+v)^2 \mid \mathcal{F}_u)}_{B_u^2-u^2+(u+v)^2})= \mathbb{E}(B_u^3)=0$$ que resuelve (a).
4. Para (b) observa que (usando exactamente la misma resonancia que arriba) $$\mathbb{E} (B(u)B(u+v)B(u+v+w)B(u+v+w+x)) = \mathbb{E} \bigg[ B(u) \bigg( B(u+v)^3-B(u+v) ((u+v+w)^2-(u+v)^2) \bigg) \bigg].$$ Utilice la propiedad de la torre para condicionar en $\mathcal{F}_u$ y usar eso $B_t^3-3tB_t$ y $B_t$ son martingalas.