¿Cuáles son los ejemplos de buenos modelos de juguete en matemáticas?

Question

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Un comentario en otra pregunta me recordó este viejo post de Terence Tao sobre los modelos de juguete. Me gusta mucho la idea de utilizar modelos de juguete de un objeto difícil para entenderlo mejor, pero no conozco demasiados ejemplos, ya que no veo que mucha gente hable de ellos. ¿Qué ejemplos son comunes en tu campo, o qué ejemplos crees personalmente que son muy reveladores? Esto es lo que tengo hasta ahora, empezando por el ejemplo de Terence Tao. Siéntase libre de modificar cualquiera de estos ejemplos si no los estoy exponiendo correctamente y de explíquelas en las respuestas si quieres.

• $F_p[t]$ es un modelo de juguete para $\mathbb Z$ .
• $F_p[[t]]$ es un modelo de juguete para $\mathbb Z_p$ .
• Los complejos simpliciales son un modelo de juguete para los espacios topológicos.
• $\mathbb Z/n\mathbb Z$ es un modelo de juguete para $\mathbb Z$ (a efectos de la teoría aditiva de los números).
• La DFT es un modelo de juguete para la transformada de Fourier en el círculo.

¿Qué propiedades de los objetos originales se trasladan a tu modelo de juguete y cuáles no? Como de costumbre, sigue un ejemplo por puesto.

Answer 1

Las matrices de 2x2 son un modelo de juguete para las matrices cuadradas generales.

"Si una afirmación sobre matrices es falsa, suele haber una matriz de 2x2 que lo revela". -- Olga Tausky-Todd

Answer 2

Se puede pensar en las variedades tóricas como "ejemplos de juguete" de las variedades algebraicas. Se puede decir mucho sobre ellas a través de datos combinatorios, pero definitivamente son especiales (son siempre variedades racionales, por ejemplo).

Answer 3

Las teorías cuánticas de campo topológicas son modelos de juguete para real teorías cuánticas de campo.

Sin embargo, se trata de un ejemplo curioso, ya que los TQFT volvieron a ser "reales" más tarde, cuando se descubrió que describen la física del efecto Hall cuántico fraccionario. Los modelos de juguete a veces dan buenos resultados.

Answer 4

Los espacios de desplazamiento son ejemplos de sistemas dinámicos topológicos, pero también sirven como modelo de juguete para los sistemas dinámicos topológicos.

Answer 5

Los mejores ejemplos que se me ocurren provienen de la teoría de la homotopía racional: las álgebras diferenciales conmutativas graduadas de Q como modelo de juguete para los espacios y los complejos de cadenas de espacios vectoriales de Q como modelo de juguete para los espectros, aunque en realidad se trata de un caso de "ejemplos de juguete" porque podemos construir espacios/espectro reales correspondientes a estos datos algebraicos. Sin embargo, se siente un poco como un modelo de juguete, supongo que porque esos espacios no son muy geométricos.