Propiedades espectrales teóricas de los números de los grafos aleatorios

Question

Si G es un grafo, entonces su matriz de adyacencia tiene un valor propio de Peron-Frobenius distinguido x. Considere el campo Q(x). Me gustaría obtener un resultado que diga que si G es un "grafo aleatorio" entonces el grupo de Galois de Q(x) es "grande" con alta probabilidad. (Bueno, lo que realmente quiero es que el grupo de Galois no sea abeliano, pero supongo que para un grafo típico será el grupo simétrico completo).

He aquí otra versión de esta pregunta. Toma un gráfico con un punto marcado y empieza a añadir una cola muy larga que llegue a ese punto. Esto da una secuencia de gráficos G_n. Si G es suficientemente complicado (es decir, no estás construyendo los diagramas de Dynkin de tipo A o D como el G_n) ¿es Gal(Q(x_n)/Q) simétrico para un n suficientemente grande?

La razón de estas cuestiones es que los grafos de fusión de las categorías de fusión siempre tienen un valor propio ciclotómico de Peron-Frobenius. Así que los resultados en esta línea dirían cosas como "los grafos aleatorios no son grafos de fusión" o "los grafos de fusión no vienen en familias infinitas". Así que los detalles particulares de estas cuestiones no son lo importante, realmente cualquier resultado sobre la teoría de números del valor propio de Peron-Frobenius de los grafos sería de interés.

Answer 1

Por si acaso alguien sigue pensando en esta cuestión...

La respuesta es la siguiente. O bien:

1. Los valores propios de $G_n$ son todos de la forma $\zeta + \zeta^{-1}$ para las raíces de la unidad $\zeta$ y los gráficos $G_n$ son subgrafos de los diagramas de Dynkin $A_n$ ou $D_n$ .

2. Para un tamaño suficientemente grande $n$ el mayor valor propio $\lambda$ es mayor que dos, y $\mathbf{Q}(\lambda^2)$ no es abeliana.

La prueba es efectiva, pero un poco larga para publicarla aquí. Los ingredientes principales son algunos hechos básicos sobre la altura de Weil, algunas ideas debidas a Cassels, y un paso de amplificación utilizando polinomios de Chebyshev.

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Le site papel está ahora en el ArXiv. Véase la última sección para la prueba de este resultado, y la penúltima sección para un resultado más eficaz pero lógicamente más débil.

Answer 2

No sé la respuesta a tu pregunta de antemano, pero creo que los polinomios característicos P_n[T] de tus gráficas G_n van a satsificar una simple recurrencia lineal, tal vez

P_n = -TP_{n-1} - P_{n-2}

o algo por el estilo. En qué circunstancias una recurrencia lineal de este tipo puede tener infinitos términos con grupo de Galois menor que el simétrico parece una pregunta natural.

Answer 3

Scott preguntó a pregunta similar .