De fondo
No es una buena referencia1 en la física del sonido/ondas de choque en los sólidos (ver Capítulo XI). He encontrado el siguiente (en la página 688) muy interesante y pertinente a su pregunta:
En un sólido o líquido, una onda de choque con una fuerza de cien mil atmósferas es considerado como débil. Una onda difiere poco de una onda acústica: se desplaza con una velocidad cercana a la velocidad del sonido, se comprime el material por sólo unos pocos por ciento o quizá del orden del diez por ciento, y le imparte una velocidad para el material que está detrás de la frente que es del orden de un décimo de la velocidad de la onda en sí... luego de una fuerte onda de choque para condensados medios de comunicación es uno cuya presión no es menos que la de decenas o cientos de millones de atmósferas.
Definamos $P$ como la presión y el $\varepsilon$ como la energía interna de un material sólido. Estos pueden ser divididos en dos partes: un elástico (subíndice $c$) y térmica de la parte. $P_{c}$ $\varepsilon_{c}$ dependen únicamente de la densidad del material, $\rho$, o el volumen específico, $V$ = $1/\rho$. Estos son iguales a la presión total y específico de la energía interna en el cero absoluto o $T = 0 \ K$. Supongamos que el volumen específico en $T = 0$ $P = 0$ está dado por $V_{oc}$, que es sólo ~1-2% menor que el volumen específico en STP, $V_{o}$, para la mayoría de los metales.
La curva de energía potencial, o la curva de la definición de $\varepsilon_{c}$, es cualitativamente similar a la curva de energía potencial que describe la interacción entre dos átomos como una función de la intranucleares distancia, $\Delta x_{n}$. Al $V > V_{oc}$, las fuerzas de atracción dominar pero cae rápidamente como el intranucleares distancias aumentan (por ejemplo, $T$ de aumento). En otras palabras, cuando los átomos se separan, $\varepsilon_{c}$ asintóticamente aumentar a algún valor $U$, que es aproximadamente la energía de enlace de los átomos en el cuerpo. Por lo tanto, $U$ representa la energía que se necesita para eliminar todos los átomos desde el objeto hasta el infinito, que es prácticamente igual que el calor de vaporización del material (escribí algunos detalles más en el calor de vaporización y se dieron varios enlaces útiles en esta respuesta). Por ejemplo, el calor de atomización (similar a la de vaporización) para el hierro es aproximadamente $415 kJ mol^{-1}$ o ~4.3 eV/átomo. Por lo tanto, $\varepsilon_{c} (V) \rightarrow U$$\Delta x_{n} \rightarrow \sim 2$.
Por el contrario, las fuerzas repulsivas dominar si $V < V_{oc}$. Podemos definir esta forma cuantitativa, teniendo en cuenta que el trabajo realizado por comprimir el material será igual al incremento en la energía interna. En otras palabras:
$$
P_{c} = - \left( \frac{ d \varepsilon_{c} }{ d V } \right)_{T = 0}
$$
que es equivalente a decir que es el isotérmica/isentrópica ecuación para el frío de compresión. El signo negativo muestra que si una fuerza de tracción se aplica al cuerpo, la unión de fuerzas entre los átomos actuaría como una fuerza de restauración. La pendiente de la $P_{c}$ curva de a $P = 0$ (o 1 atm) se define la compresibilidad del material bajo condiciones normales (es decir, $T = T_{o} \sim 300 \ K$). Esta está dada por:
$$
\kappa_{o} = - \frac{ 1 }{ V_{o} } \left( \frac{ \partial V }{ \partial P } \right)_{T_{o}}
$$
Tenga en cuenta que la pendiente de $\kappa_{o}$ define la velocidad de la elástica de las ondas dentro del objeto. Por lo tanto, vamos a definir la velocidad del sonido en el sólido como esta velocidad, dada por:
$$
C_{o} = \sqrt{ - V^{2} \left( \frac{ \partial P }{ \partial V } \right)_{S} }
$$
donde el subíndice $S$ indica un isentrópica de derivados y la derivada parcial será negativa para evitar imaginario a la velocidad del sonido.
Simple Aproximación De Orden Cero
Mi knee-jerk suposición es que el enfoque más sencillo, dado que asume la colisión elástica de relaciones, es sólo aproximado de la $\Delta \varepsilon_{c}$ por la final de la energía cinética de su impactando objeto, asumiendo que el impactee(?) no se mueve después del impacto.
Primer Orden De Aproximación
[El siguiente viene del Capítulo XI, Secciones 3.14-3.16 en la Referencia 1]
A continuación vamos a considerar los efectos sobre una varilla cilíndrica (utilizado para la simetría y la simplicidad).
Para pequeñas deformaciones, el cambio relativo en el volumen, $\Delta V/V$, está dada por:
$$
\frac{ \Delta V }{ V } = - \kappa \ P = - \frac{ P }{ K }
$$
donde $K = 1/\kappa$ es el módulo de bulk.
Definamos $C_{1}$ como la velocidad de una onda de compresión en el material debido a la aplicación de una presión constante, $P$, aplicado a un extremo de la varilla en algún momento inicial. El material entre el frente de onda y el extremo de la varilla de contratos a una velocidad constante, $u$. Bajo estas condiciones, podemos utilizar la ley de Hooke y muestran que para pequeñas cargas y las deformaciones tenemos:
$$
\frac{ u }{ C_{1} } = \frac{ P }{ E }
$$
donde $E$ es el módulo de Young. Después de algún tiempo, $t$, la masa de material abarcado por la ola de adquirir un impulso $\rho \ C_{1} \ t \ u$, el cual debe ser igual a $P \ t$ la ley de Newton, lo que nos da:
$$
P = \rho \ u \ C_{1}
$$
Respuesta Más Detallada
Por desgracia, no tengo tiempo para ir a través de toda la derivación, pero sugiero Capítulo XI en la Referencia 1 y el uso de la Referencia 2 para información de apoyo. Zel'dovich y Raizer, básicamente, pasar todo el Capítulo XI de la discusión de este tema y entrar en todos los matices que se aplican a su problema (por ejemplo, la onda de presión inducida por la onda de choque de compresión). Supongo que mucho de lo que está pasando necesidad de un análisis numérico, pero hay puntos de partida y aproximaciones que son analíticos que podrían ahorrar un montón de tiempo.
Referencias
- Zel'dovich, Ya.B., y Yu.P. Raizer (2002) de la Física de las Ondas de Choque de Alta Temperatura de la Hidrodinámica de los Fenómenos, Ed. por W. D. Hayes y R. F. Probstein, Mineola, nueva york, Dover Publications, inc., La Edición de Dover; ISBN-13: 978-0486420028.
- Whitham, G. B. (1999), Lineal y no Lineal de Ondas, Nueva York, nueva york: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN:0-471-35942-4.
