Hola! Tengo un problema con la integral $\int_{n}^{n+1}x^2 \,dx$

Question

Básicamente, me di cuenta de que cuando $n\subset \mathbb{N}$ , $\displaystyle\int_{n}^{n+1}{x^2}\,dx$ da un número primo dividido por 3 o una multiplicación de números primos. Aquí hay una tabla que hice.

¿Es algo ya conocido o una "función que genera números primos"? No sé mucho de matemáticas y no tengo una gran formación académica, así que lo pregunto aquí.

Answer 1

Todos los números son factorizables en algunos números primos por el teorema de la factorización de los primos

Answer 2

Buena observación. Pero no es válida para todos $n$ . Hay muchos contraejemplos. Por ejemplo:

Para $n=22$ El triple de la integral es $ 7 \cdot 7 \cdot 31$ .

Para $n=33$ El triple de la integral es $7 \cdot 13 \cdot 37$ .

Para $n=187$ El triple de la integral es $7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 61$ .

Answer 3

91 también es 13 veces 7, así que parece ser una coincidencia que encuentres unos cuantos números primos. Todos los demás números pueden escribirse siempre como un producto de números primos, (pero no necesariamente sólo de dos) y no hay una fórmula conocida para generar números primos.

Su fórmula para $3n$ , que debería ser $3f(n)$ es $3n^2 + 3n + 1$ Si n=26 obtienes 2107 que es 43 veces 7 al cuadrado y probablemente haya otros más altos que necesiten 3 o más primos multiplicados juntos, pero ¡buen intento!

Answer 4

Vamos a abordarlo desde los primeros principios: por cálculo directo, $$ \int_{n}^{n+1} x^2 dx = {1 \over 3}\left[ (n+1)^3 - n^3 \right]. $$ ¿Estás probando la afirmación de que la expresión en los [] es un número primo o un múltiplo de 3? Si es así, esto se puede comprobar directamente, expandiendo el primer cubo en []'s y recogiendo las potencias similares.

Answer 5

Por el teorema fundamental del cálculo, \begin{align} f(n)=\int_{n}^{n+1}x^2 \, dx &= \left[\frac{x^3}{3}\right]_{n}^{n+1} \\[4pt] &= \frac{(n+1)^3}{3}-\frac{n^3}{3} \\[4pt] &= \frac{3n^2+3n+1}{3} \, .\\ \end{align} Esto significa que $3f(n)=3n^2+3n+1$ . Así que lo que estamos tratando es un polinomio que, cuando se introduce un número entero en él, se obtiene otro número entero. Algunas veces obtendremos un número primo. Por ejemplo, cuando $n=1$ obtenemos $3f(n)=7$ . Pero, como ya ha señalado la respuesta de Ihf, algunas veces no lo haremos.

Desde $3n^2+3n+1=3n(n+1)+1$ y $3n(n+1)$ es uniforme, sabemos que $3n(n+1)+1$ es impar. Si un número entero es relativamente pequeño y también impar, es bastante probable que sea primo. Por lo tanto, no debería sorprender demasiado que el polinomio produzca números primos para valores pequeños de $n$ .