¿Qué es el plano proyectivo de Cayley?

Question

Se puede construir un plano proyectivo a partir de $\Bbb R^n$ , $\Bbb C^n$ y $\Bbb H^n$ y luego tiene la tentación de hacer lo mismo con los octoniones. Esto lleva a la construcción de un plano proyectivo conocido como $\Bbb OP^2$ El plano proyectivo de Cayley.

¿Cuáles son las referencias de las propiedades del plano proyectivo de Cayley? En particular, me gustaría conocer su (co)homología y grupos de homotopía.

Además, ¿qué intuición geométrica funciona cuando se trabaja con este objeto? ¿Se transfiere bien la intuición del espacio proyectivo real o la no asociatividad supone una gran diferencia? Por ejemplo, me gustaría saber por qué se podría saber que no hay $\Bbb OP^3$ .

Answer 1

Tengo entendido que los octonianos no son lo suficientemente asociativos como para tener un plano proyectivo en el sentido habitual. Es decir, habría que definir $\mathbb{O}P^{2}$ como la colección de líneas de Cayley en $\mathbb{R}^{16}$ . Sin embargo, las "líneas de Cayley" en $\mathbb{R}^{16}$ no tiene sentido debido a la falta de asociatividad.

Sin embargo, el equivalente (para $\mathbb{K}P^{2}$ con $\mathbb{K} \in $ { $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$ } ) siguen funcionando. Establezca $k = dim_{\mathbb{R}} \mathbb{K}$ .

Por ejemplo, topológicamente, $\mathbb{K}P^{2}$ se obtiene adjuntando un $2k$ bola a la esfera $S^{k}$ a través de la $k$ -mapa de Hopf de una dimensión (es decir, donde la esfera base es $k$ dimensional). Lo mismo ocurre con $\mathbb{K} = \mathbb{O}$ topológicamente. El hecho (de caja negra) de que sólo el fibrado con fibra $S^{7}$ y el espacio total una esfera es la fibración $S^{7}\rightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}$ conduce al hecho de que no hay una mayor $\mathbb{O}P^n$ .

A partir de esta descripción, no es demasiado difícil (utilizando las mismas técnicas que funcionan en $\mathbb{C}P^{2}$ y $\mathbb{H}P^{2}$ ), para demostrar que $H^{*}(\mathbb{O}P^{2}, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[x]/x^{3}$ con $|x| = 8$ .

Como otro ejemplo de formulación equivalente, se puede partir de un $2k$ -de la bola en $\mathbb{R}^{2k}$ y cotizamos el límite por el $k$ mapa de Hopf dimensional. Uno puede poner una métrica radial particular en la bola y comprobar que está bien definida y es suave bajo el cociente (olvido exactamente cuál es la métrica). Esta construcción da como resultado $\mathbb{K}P^2$ con la métrica Fubini-Study.

Esta construcción también funciona cuando $\mathbb{K} = \mathbb{O}$ . Esta construcción es agradable porque muestra $\mathbb{O}P^2$ tiene una métrica de Fubini-Study de modo que las curvaturas están entre 1 y 4 y el lugar de corte relativo a un punto es un $S^8$ . En otras palabras, esta construcción muestra que la geometría es muy similar a la de $\mathbb{K}P^2$ para las álgebras de división $\mathbb{K}$ en $\mathbb{R}$ . También se puede utilizar esta descripción (con algo de trabajo, o eso me han dicho), para demostrar que $\mathbb{O}P^2$ es isométrico al espacio homogéneo $F_{4}/Spin(9)$ con una métrica normal homogénea.

Answer 2

Hay algunos aspectos combinatorios curiosos de los planos real-complejo-cuaterniónico y proyectivo de Cayley. Un teorema de Brehm y Kuhnel afirma que una variedad de 2m dimensiones que no es una esfera no puede ser triangulada con menos de 3m+3 vértices. Hay triangulaciones conocidas de RP^2 con 6 vértices, de CP^2 con 9 vértices, de HP^2 (probablemente) con 15 vértices y encontrar una triangulación de 27 vértices de OP^2 está abierto. Ver U. Brehm y W. Kühnel, 15-vertex triangulations of an 8-manifold, Math. Annalen 294, 167-193 (1992) y las referencias allí citadas. Que yo recuerde, todos los 4 planos proyectivos tienen importantes incrustaciones lisas ajustadas ("tipo Veronese"). Aquí hay 2 enlaces a un papel y página web .

Answer 3

Una descripción del plano de Cayley que no parece haberse mencionado todavía es como el espacio homogéneo F ₄ / Spin(9), mencionado en este documento . (Más precisamente, F ₄ significa aquí el grupo de Lie compacto simplemente conectado de tipo F ₄ .)

Answer 4

OP^2 es una variedad bandera minúscula (y cominúscula) G/P asociada al sistema de raíces E_6. Uno puede hacer el cálculo de Schubert allí. Hay una descripción del anillo de cohomología en términos de jeu de taquin (como la descripción clásica para los grassmanianos); sólo hay que sustituir el rectángulo kx(n-k) que se utiliza para los grassmanianos por un conjunto parcialmente ordenado de aspecto bastante gracioso. Véase arXiv:math/0701215 .

Sin embargo, no tengo ni idea de tus otras preguntas.

Answer 5

Hay una construcción muy bonita utilizando el álgebra de Jordan excepcional de dimensión 27, descrita en el libro "On Quaternions and Octonions" de Conway y Smith, así como en el artículo de Báez sobre los Octoniones (ver http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node12.html ). Para resumir, se toman matrices hermitianas de 3 por 3 sobre los Octoniones, con el producto de Jordan $A \circ B = (AB + BA)/2$ . Así se obtiene el álgebra de Jordan excepcional. Si además se restringe a las matrices que son de traza unitaria e idempotentes, se obtiene $\mathbb{OP}^2$ . Usted dice que el punto $P$ mentiras en línea $L$ si $P \circ L = 0$ .

Como algunas de las respuestas anteriores han señalado, la construcción habitual de espacios proyectivos de mayor dimensión no funciona porque el teorema de Desargues se cumple automáticamente en ellos (véase Courant y Robbins, "What is Mathematics", pg. 171, para una bonita ilustración y una rápida demostración), e implicaría que $\mathbb{O}$ es asociativo, que no lo es. Obsérvese que el plano $\mathbb{OP}^2$ no es de Cesarguian.