Cálculo de la distribución de una variable aleatoria compuesta

Question

Dado $X\sim U(1, 0)$ y $Y\sim Exp(1)$ determinar la función de densidad de $Z:=\frac{X}{Y}$ .

Ahora, sin buscar cómo hacerlo he intentado averiguarlo yo mismo.

El valor de la función de densidad $f_X(x)$ es el análogo continuo de la probabilidad de que $X=x$ ¿cierto? Me doy cuenta de que $\mathbb P(X=x)=0$ para cada $x$ pero hasta ahora parecía que razonar sobre las variables aleatorias de esta manera producía resultados correctos. Además, el análogo continuo de una suma es una integral.

Ahora, $f_Z(z)=f_\frac{X}{Y}(z)$ . Hay un número infinito de formas en que el cociente de $X$ y $Y$ podría producir $z$ así que integré sobre todos ellos así $\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(x/z)dx$ . Ahora bien, como $f_X$ es cero en todas partes menos en $[0,1]$ donde es uno, la integral se convierte en $\int_0^1f_Y(x/z)dx=z(1-e^{-1/z})$ . Todo esto me pareció lógico, pero luego probé lo contrario. Integrando sobre los posibles valores de $Y$ y luego hacer $X$ que los empareje.

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(y)f_X(zy)dy=\int_0^{+\infty}e^{-y}f_X(zy)dy=\int_0^{1/z}e^{-y}dy=1-e^{-1/z}$

¿Por qué no da el mismo resultado? Realmente espero no haber cometido un simple error de cálculo. En realidad, tal vez espero haber hecho precisamente eso para poder salvar mi método.

Le agradecería cualquier idea al respecto.

Answer 1

El distribución de la proporción se evalúa mediante la integral: $$\begin{align} f_Z(z) & = f_{X/Y}(z) \\ & = \int_\Bbb R \lvert y\rvert f_X(yz)f_Y(y)\operatorname d y \\ & = \int_0^{1/z} y e^{-y} \operatorname d y \\ & = 1-e^{-1/z} (\tfrac 1 z + 1) \end{align}$$

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Volviendo a los primeros principios.

$\begin{align} P(Z\leq z) & = P(X \leq Yz) \\ & = \int_0^\infty\int_{0}^{\min(yz,1)} e^{-y}\operatorname d x\operatorname d y \\ & = \int_0^{1/z} e^{-y}\int_0^{yz} 1\operatorname d x\operatorname d y + \int_{1/z}^\infty e^{-y}\int_0^1 1\operatorname d x\operatorname dy \\ & = z\int_0^{1/z} ye^{-y}\operatorname d y + \int_{1/z}^\infty e^{-y}\operatorname dy \\ & = \left(z-e^{-1/z} (z+1)\right) +\left(e^{-1/z}\right) \\ & = z(1-e^{-1/z}) \\[2ex] f_Z(z) & = \frac{\mathrm d}{\mathrm d z}\Big(P(Z\leq z)\Big) \\ & = 1-(1+\tfrac 1 z)e^{-1/z} \end{align}$

En general, cuando $X>0,Y>0$ : $$\begin{align}f_Z(z) & = \frac{\mathrm d}{\mathrm d z} \int_0^\infty\int_0^{yz} f(x,y)\operatorname d x\operatorname d y \\ & = \int_0^\infty y f(zy,y)\operatorname d y\end{align}$$