Problema de clasificación de las variedades no compactas

Question

Antecedentes

Es bien sabido que las variedades compactas bidimensionales están completamente clasificadas (por su orientabilidad y su característica de Euler).

Además, tengo la impresión de que también existe una clasificación para las variedades tridimensionales compactas que proviene de la demostración de la Conjetura de la Geometrización y otros trabajos relacionados.

Desgraciadamente para $n\ge4$ no es posible una clasificación similar porque se puede demostrar que es al menos tan difícil como el problema de palabras para grupos. Por lo tanto, para las variedades de mayor dimensión nos centramos en clasificar todas las simplemente conectado colectores compactos.

Mi pregunta

¿Por qué en estos "problemas de clasificación" sólo consideramos compacto ¿recibos? ¿Existe alguna razón fácil por la que nos limitemos a la clasificación de las variedades compactas? ¿Se desprende fácilmente una clasificación de las variedades generales (no necesariamente compactas) de una clasificación de las variedades compactas?

Answer 1

Sólo quería mencionar que el hecho de que el problema de la palabra sea "difícil" para los grupos no significa que no pueda haber una clasificación para los colectores de dimensión $\geq$ 4.

El problema es que la palabra "difícil" significa aquí "no hay un algoritmo para resolverlo". Ciertamente podría haber (aunque lo dudo) una lista relativamente corta de invariantes para n-manifolds que los clasifique hasta el difeomorfismo. El problema se convierte entonces en determinar, para dos variedades concretas $M$ y $N$ si sus listas de invariantes son o no isomorfas/iguales, lo que podría ser "difícil".

Para un ejemplo algo trivial: en dimensión 2, las variedades compactas se clasifican hasta el difeomorfismo por su primer grupo de homología. Esta es una afirmación verdadera (y útil) independientemente de lo "fácil" que sea determinar si $H_1(M)$ y $H_1(N)$ son isomorfas.

Además, si se quiere, por ejemplo, aplicar el Conjetura de Heawood para superficies compactas, y sólo se sabe $H_1(M)$ sólo hay que demostrar que NO es isomorfo a 0 o $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ no aislar precisamente a qué grupo ES isomorfo.

Answer 2

Para ilustrar ambos lados de todos los comentarios anteriores (lo no compacto se basa en lo compacto, frente a lo no compacto que es mucho más difícil que lo compacto), señalo que se han clasificado TODOS los 2-manifolds métricos conectados y separables (con o sin límites), es decir, todos los espacios métricos conectados y separables en los que cada punto tiene una vecindad abierta homeomórfica al disco cerrado de 2 dimensiones. Véase Brown, Edward M.; Messer, Robert: The classification of two-dimensional manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 255 (1979), 377-402. MR0542887

La cuestión es que el análisis es bastante delicado y presenta algunas sorpresas, mostrando que el caso no compacto no se deduce fácilmente del compacto. Dados los ejemplos en dimensión 3 de McMillan mencionados por algori, una de las sorpresas es que se pueda hacer en absoluto.

Answer 3

Especialmente si se trata de colectores suaves, hay algunas cosas raras que suceden en el caso no compacto. El ejemplo más famoso es la existencia de infinitas colectores que son homeomórficas pero no difeomórficas a R^4.

No sé si ocurren cosas igual de raras sólo para las variedades topológicas, pero yo no lo descartaría.

Sin embargo, creo que vale la pena mencionar que ocurren muchas cosas completamente locas incluso para los 4manifolds topológicos compactos. Por ejemplo, tenemos la variedad E8, que no es triangulable, y en el otro extremo tenemos variedades que admiten demasiadas estructuras lineales a trozos. Esta rareza desaparece para las variedades compactas de mayor dimensión (afortunadamente), pero para las variedades no compactas hay que lidiar con cosas como R x E8, que sospecho que no son mucho más agradables.