Problema de clasificación de las variedades no compactas

Question

Antecedentes

Es bien sabido que las variedades compactas bidimensionales están completamente clasificadas (por su orientabilidad y su característica de Euler).

Además, tengo la impresión de que también existe una clasificación para las variedades tridimensionales compactas que proviene de la demostración de la Conjetura de la Geometrización y otros trabajos relacionados.

Desgraciadamente para $n\ge4$ no es posible una clasificación similar porque se puede demostrar que es al menos tan difícil como el problema de palabras para grupos. Por lo tanto, para las variedades de mayor dimensión nos centramos en clasificar todas las simplemente conectado colectores compactos.

Mi pregunta

¿Por qué en estos "problemas de clasificación" sólo consideramos compacto ¿recibos? ¿Existe alguna razón fácil por la que nos limitemos a la clasificación de las variedades compactas? ¿Se desprende fácilmente una clasificación de las variedades generales (no necesariamente compactas) de una clasificación de las variedades compactas?

Answer 1

Ahora mismo no tengo acceso a Jstor, así que confío en mi memoria y, bueno, puede que quieras comprobar todo esto.

El teorema de Ian Richards dice que las superficies no compactas (sin límite) se clasifican por su orientabilidad, su género (posiblemente infinito) y un triple de espacios, cada uno incrustado en el anterior, que son:

1. el espacio de sus extremos,

2. el espacio de sus extremos con el género,

3. el espacio de sus extremos desorientados.

El espacio de extremos se construye tomando una secuencia creciente de subconjuntos compactos que cubren un espacio topológico $T$ y observando los componentes conectados de sus complementos. Un fin de $T$ es una secuencia infinita y decreciente de tales componentes conectados. La cuestión es que se puede hacer eso de forma que no dependa sustancialmente de la secuencia de compactos que se elija.

Por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ sólo tiene un extremo provisto $n\ge2$ (mira la secuencia de bolas de radio entero y centradas en algún punto), mientras que $\mathbb{R}$ tiene dos extremos. El espacio de los extremos de un árbol regular es un conjunto de Cantor.

Se dice que un extremo tiene género si las componentes conectadas que lo definen tienen todas género (nunca se reducen a ánulos). Se dice que un extremo es desorientable si las componentes conectadas que lo definen son todas desorientables.

Ahora, considera la superficie $S^n$ ( $n=1,2$ o $3$ definida como la frontera de una vecindad tubular de la incrustación habitual del gráfico de Cayley habitual de $\mathbb{Z}^n$ en $\mathbb{R}^3$ (para $n=1$ se obtiene un cilindro; para $n=2$ algún tipo de rejilla; para $n=3$ a veces se le llama gimnasio de la selva). $S^2$ y $S^3$ son las superficies descritas por Richard Kent en su tercer párrafo. Estas dos superficies tienen exactamente un extremo orientable pero con género. Por lo tanto, todas son homeomórficas. Este es un resultado bastante increíble en mi opinión. La presentación más sencilla de esta superficie se llama el monstruo del Lago Ness: se construye añadiendo a un plano una secuencia de asas colocadas en fila.

Answer 2

En cierto sentido, se sabe más o menos cómo deben ser las variedades no compactas siempre que se tenga una clasificación de las variedades compactas. El punto de partida es la observación básica (Whitney) de que una variedad no compacta tiene una función propia $f : M \to R$ . Así, la preimagen de los intervalos $[-n,n]$ para $n=1,2,3,\cdots$ forman una familia anidada de submanifolds compactos de $M$ que agotan el colector siempre y cuando $f$ es transversal a los enteros, lo que puede lograrse.

Así que la comprensión $M$ se reduce a ver cómo se "amontonan" las características de esta familia de submanifolds, y a poner algún tipo de límite ideal razonable en $M$ -- ya que el "límite ideal" es un fenómeno de dimensión inferior, en principio podría inclinarse a pensar que esto es razonable.

Por supuesto, estoy siendo bastante vago, pero parece que estabas buscando algo así.

Por otro lado, debido a lo anterior, las variedades no compactas son objetos decididamente menos combinatorios. No tienen descripciones finitas y combinatorias. Larry Siebenmann muestra a la gente el ejemplo de la estructura suave en $I \times \mathbb R^4$ tal que el mapa de proyección $I \times \mathbb R^4 \to I$ es una inmersión suave, pero para la cual las fibras un par no difeomorfo $\mathbb R^4$ 's.

Answer 3

Complementando la respuesta de Ryan: como demostró McMillan (Transactions AMS 102, 373-382) existe un continuo de subconjuntos abiertos no homeomórficos por pares de $\mathbf{R}^3$ . Por tanto, clasificar las variedades no compactas en general es probablemente inútil y son necesarias algunas restricciones (por ejemplo, se pueden considerar sólo los interiores de las variedades compactas con límite que satisfagan algunas condiciones sobre los grupos fundamentales, etc.).

Answer 4

Esta respuesta complementa las respuestas de Henry y Algori. Creo que vale la pena destacar que la clasificación de las variedades abiertas no se deriva de la clasificación de las variedades compactas. Las superficies abiertas fueron clasificadas, pero los 3 pliegues abiertos no lo son, su clasificación no se desprende de la clasificación de los compactos, al menos en la actualidad. En particular, { \it descomposición primaria}, o el teorema de Kneser ( http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_decomposition_(3manifold) ) no es válida para los pliegos de 3 hombres no compactos. Existe una construcción debida a Scott ( http://plms.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/s3-34/2/303 ) de un ejemplo de un triplete simplemente conectado que no puede ser una suma conectada de un número finito o infinito de manifiestos primos.

Los 3manifoldes abiertos son estudiados activamente ahora. Permítanme dar dos citas que confirman además que nuestro conocimiento de los 3manifoldes compactos no es suficiente para entender los no compactos.

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1) Flujo de Ricci en 3manifolds abiertos y curvatura escalar positiva. Laurent Bessi`eres, G'erard Besson y Sylvain Maillot. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1001/1001.1458v1.pdf

Gracias a la prueba de G. Perelman de la conjetura de W. Thurston de W. Thurston, la estructura topológica de los 3 manifolds compactos se entiende ahora bien en términos de la descomposición geométrica canónica. El primer paso de esta descomposición, que se remonta a H. Kneser consiste en dividir un colector de este tipo como una suma conectada de tres colectores primos, es decir, los 3manifolds que no son sumas conectadas no triviales. Desde los primeros trabajos de J. H. C. Whitehead [Whi35] se sabe que la topología de los 3manifolds abiertos es mucho más complicada. Directamente relevantes para el presente trabajo son los contraejemplos de P. Scott [ST89] y del tercer autor [Mai08] que muestran que el teorema de Kneser no se generaliza a los abiertos, incluso si se permiten sumas conectadas infinitas.

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La referencia para el artículo de Maillot es la siguiente.

2) Algunos 3-manifolds abiertos y 3-orbifolds sin descomposiciones canónicas localmente finitas. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0802/0802.1438v2.pdf

Esta es la cita

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Gran parte de la teoría de los 3manifolds compactos se basa en descomposiciones en canónicas, en particular la descomposición en primos de Kneser-Milnor [12, 16], y la descomposición característica de Jaco-Shalen-Johannson [10, 11]. Estos han conducido a importantes desarrollos en la teoría de grupos [22, 7, 9, 24], y forman la base de la conjetura de geometrización de W. Thurston, que recientemente recientemente por G. Perelman [19, 20, 21].

Por el contrario, para los 3manifolds abiertos, no existe ni siquiera una descripción conjetural de un 3-manifold general en términos de los geométricos. Tal descripción Esta descripción sería tanto más útil cuanto que los 3manifolds hiperbólicos no compactos de la conjetura de la laminación final. de la conjetura de la laminación final [17, 4] y de la conjetura de la mansedumbre [5, 1]. El objetivo de este trabajo es presentar una serie de ejemplos que muestran que las generalizaciones ingenuas de la teoría de la descomposición canónica a los canónica de la teoría de los 3manifolds compactos son falsas.

Answer 5

No creo que haya una reducción fácil al caso compacto. Por ejemplo, el colector de Whitehead es un manífero de tres dimensiones no compacto y contraíble que no es homeomorfo al espacio real de tres dimensiones. Esto sugiere que la situación no compacta en 3 dimensiones es mucho peor que la compacta (que, como señalas, ahora se entiende bastante bien, después de mucho trabajo).