Demostrar que las componentes del vector perpendicular al plano son los coeficientes de la ecuación del plano.

Question

Lo entiendo intuitivamente, pero tengo problemas con la prueba. Digamos que tengo un avión:

$$Ax+By+Cz = D,$$ y elijo puntos en el avión:

$$(x_1, y_1, z_1), \space (x_2, y_2, z_2).$$

Sé que el vector $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ debe ser perpendicular al vector con el que termino, que llamaré $(a, b, c)$ .

$$(a, b, c) \cdot (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = 0,$$ por lo tanto $$(ax_2 - ax_1 + by_2 - by_1 + cz_2 - cz_1) = 0.$$ Así, $$ax_2 + by_2 + cz_2 = ax_1 + by_1 + cz_1.$$ Como ambos están en el avión, sabemos que $$Ax_2 + By_2 + Cz_2 = Ax_1 + By_1 + Cz_1 = D,$$ dejándome:

$$Ax_2 + By_2 + Cz_2 = Ax_1 + By_1 + Cz_1$$

$$ax_2 + by_2 + cz_2 = ax_1 + by_1 + cz_1$$

pero eso no es suficiente para justificar que $A = a, B = b,$ y $C = c$ ¿lo es?

Answer 1

Hay muchos vectores ortogonales al plano $$A x + B y + Cz = D$$ (donde no todos los $A, B, C$ son cero): Sabemos por su argumento estándar que $(A, B, C)$ es, pero también lo son todos los vectores $(\lambda A, \lambda B, \lambda C)$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ en la línea que atraviesa.

Answer 2

El resultado fundamental aquí es que dado algún vector $(A,B,C)$ y cualquier otro vector $(x,y,z)$ hay un único $\lambda \in \mathbb{R}$ y $(r,s,t)$ tal que $(x,y,z) = \lambda(A,B,C)+ (r,s,t)$ y $(A,B,C) \cdot (r,s,t) = 0$ . (Es fácil calcular los valores, pero no se trata de eso en este momento).

Tenemos un avión $P = \{ (x,y,z) \mid (A,B,C) \cdot (x,y,z) = D \}$ .

Supongamos que $(l,m,n)$ es perpendicular al plano $P = \{ (x,y,z) \mid (A,B,C) \cdot (x,y,z) = D \}$ . En particular, esto significa $(l,m,n) \cdot (x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2) = 0$ para todos $(x_k,y_k,z_k) \in P$ , $k = 1,2$ . No es difícil ver que esto es equivalente a $(l,m,n) \cdot (\delta_x,\delta_y,\delta_z) = 0$ para todos $(\delta_x,\delta_y,\delta_z)$ tal que $(A,B,C) \cdot (\delta_x,\delta_y,\delta_z) = 0$ .

Ahora escribe $(l,m,n) = \lambda(A,B,C)+ (r,s,t)$ como en el caso anterior. Como $(A,B,C) \cdot (r,s,t) = 0$ tenemos $(l,m,n) \cdot (r,s,t) = 0 = \lambda (A,B,C) \cdot (r,s,t) + \|(r,s,t)\|^2$ Así que vemos $(r,s,t) = 0$ de la que obtenemos $(l,m,n) = \lambda (A,B,C)$ .