Sí, su afirmación es cierta. Se puede adaptar una prueba del Teorema 6.1 en este papel . Como el argumento es elemental, escribo una prueba a continuación.
Propuesta: Dejemos que $X$ ser un $\delta$ -espacio hiperbólico y $\{C_i : i \in I \}$ una colección finita de $Q$ -subespacios cuasiconvexos tales que $C_i^{+D} \cap C_j^{+D} \neq \emptyset$ por cada $i,j \in I$ . Entonces $$\bigcap\limits_{i \in I} C_i^{+6(15\delta+\max(D,Q))} \neq \emptyset.$$
La definición de $\delta$ -La hiperbolicidad que utilizo es la misma que la de Bowditch curso . Recojo allí tres lemas clásicos:
Lema 1: [Bowditch, Lemma 6.5] Dejemos que $X$ ser un $\delta$ -espacio hiperbólico. Para cada triángulo geodésico $[x,y] \cup [y,z] \cup [z,x]$ , uno tiene $[x,y] \subset \left( [y,z] \cup [z,x] \right)^{+6 \delta}$ .
Lema 2: [Bowditch, Lemma 6.2] Dejemos que $X$ ser un $\delta$ -espacio hiperbólico. Para cada punto $x,y,z \in X$ y toda geodésica $[y,z]$ , uno tiene $d(x,[y,z]) \leq (y,z)_x +4\delta$ .
Lema 3: [Bowditch, Lemma 6.4] Dejemos que $X$ ser un $\delta$ -espacio hiperbólico y $x,y \in X$ dos puntos. La distancia de Hausdorff entre dos puntos cualesquiera $(1,C)$ -cuasigeodésicas entre $x$ y $y$ es como máximo $\frac{3}{2}C+12\delta$ .
Ahora, el lema clave es el siguiente:
Lema 4: Dejemos que $X$ ser un $\delta$ -espacio hiperbólico, $C_1,C_2 \subset X$ dos $Q$ -subespacios cuasiconvexos que satisfacen $C_1^{+D} \cap C_2^{+D} \neq \emptyset$ y $z \in X$ un punto. Para $i=1,2$ , fije un punto $z_i \in C_i$ satisfaciendo $d(z,z_i) \leq d(z,C_i)+\delta$ y supongamos que $d(z,z_1) \geq d(z,z_2)$ . Entonces $z_1 \in C_2^{+6(15\delta+\max(D,Q))}$ .
Prueba. Fijar un punto $u \in C_1^{+D} \cap C_2^{+D}$ y para $i=1,2$ un punto $u_i \in C_i$ satisfaciendo $d(u,u_i) \leq D$ .
Hecho 1: $d(z,C_i) \leq d(z,[u,z_i]) +6\delta +\max(D,Q)$ .
En efecto, fijar un punto $z' \in [u,z_i]$ tal que $d(z,[z_1,u]) \geq d(z,z')- \epsilon$ para algunos pequeños $\epsilon$ . Según el Lemma 1, existe algún $z''\in [u_i,z_i] \cup [u_i,u]$ tal que $d(z',z'') \leq 6\delta$ . Si $z'' \in [u,u_i]$ entonces $$d(z,C_i) \leq d(z,z')+d(z',z'')+d(z'',C_i) \leq d(z,[u,z_i]) + 6\delta +D+\epsilon;$$ y si $z'' \in [u_i,z_i]$ entonces $$d(z,C_i) \leq d(z,z')+d(z',z'')+d(z'',C_i) \leq d(z,[u,z_i])+6 \delta+Q + \epsilon.$$ Tomando $\epsilon \to 0$ nuestro hecho está probado.
Hecho 2: $[u,z_i]\cup [z_i,z]$ es un $(1,2(11\delta+\max(D,Q)))$ -cuasigodésica entre $u$ y $z$ .
Deducimos del lema 1 que $$\begin{array}{lcl} (u,z_i)_z & \geq & d(z,[u,z_i])- 4 \delta \geq d(z,C_i) - 10\delta - \max(D,Q) \\ \\ & \geq & d(z,z_i) -11\delta- \max(D,Q) \end{array}$$ Por definición, $(u,z_i)_z= \frac{1}{2} \left( d(z,u)+d(z,z_i)-d(u,z_i) \right)$ , por lo que obtenemos $$d(z,u) \geq d(u,z_i)+d(z_i,z) - 2(11\delta+\max(D,Q)),$$ lo que demuestra nuestro segundo hecho.
Ahora estamos preparados para concluir la demostración de nuestro lema. Del lema 3 se deduce que existe algún $p \in [z,z_2] \cup [z_2,u]$ satisfaciendo $d(z_1,p) \leq 3(15\delta+\max(D,Q))$ . Si $p \in [z,z_2]$ entonces $$d(p,z_2) = d(z,z_2)-d(z,p) \leq d(z,z_2)-d(z,z_1)+d(z_1,p) \leq d(z_1,p)$$ por lo que $$d(z_1,C_2) \leq d(z_1,p)+d(p,z_2) \leq 2d(z_1,p) \leq 6(15\delta+\max(D,Q)).$$ Si $p \in [z_2,u]$ entonces $$d(z_1,C_2) \leq d(z_1,p)+d(p,C_2) \leq 51 \delta +4 \max(D,Q)$$ desde $[z_2,u]$ está contenida en el $(6\delta+ \max(D,Q))$ -vecino de $C_2$ . Con esto concluye la demostración del lema. $\square$
Prueba de la proposición. Por cada $i \in I$ , fije un punto $z_i \in C_i$ tal que $d(z,z_i) \leq d(z,C_i)+\delta$ . Recoge algunos $j \in I$ tal que $d(z,z_j) \geq d(z,z_k)$ por cada $k \in I$ . La aplicación del lema 4 proporciona $$z_j \in \bigcap\limits_{k \in I} C_k^{6(15 \delta + \max(D,Q))},$$ lo que concluye la prueba. $\square$
Observación: Si lo desea, puede sustituir la hipótesis de que $I$ es finito con la suposición de que el $C_i$ se cruzan con un conjunto acotado.
