Necesito una pista sobre la prueba de inducción para la suma

Question

Tengo un problema de tarea para probar lo siguiente por inducción: $$\sum_{i=1}^n i^22^{n-i} = 2^{n+3}-2^{n+1}-n^2-4n -6$$ El caso base es verdadero. Generé lo siguiente usando $s_k+a_{k+1}=s_{k+1}$: $$ 2^{k+3}-2^{k+1}-k^2-4k-6+(k+1)^22^{n-(k+1)}=2^{k+4}-2^{k+2}-(k+1)^2-4(k+1)-6 $$ lo que he simplificado a:

$$ (k+1)^22^{n-(k+1)}=-2k-5 $$ Sin embargo, no tengo idea de qué hacer con $n$ y no he podido descubrir qué buscar en Google para obtener una pista. Así que mis preguntas son:

1. ¿Cómo se llama cuando tienes $n$ en el lado izquierdo de la notación de sumatoria como esto (es decir, qué términos de búsqueda podrían ayudar)?
2. ¿Estoy utilizando el proceso correcto, o estoy completamente equivocado? (¿Y/o he cometido algún error en mi simplificación?)
3. ¿Qué hago con $n$? Intenté hacer $n=k+1$, lo cual me pareció lógico, pero no funciona.

¡Gracias por cualquier sugerencia/pista que puedas tener!

Answer 1

Supondré que ya has realizado el caso base.

Supongamos que esto se cumple para $k \in \mathbb{N}.$ Vemos que

$$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 2^{k+1 - i} = 2\sum_{i=1}^{k+1} i^2 2^{k-i}$$ $$=2\left((k+1)^2 2^{-1} + \sum_{i=1}^{k} i^2 2^{k-i}\right),$$ lo cual por nuestra hipótesis inductiva $$=2\left((k+1)^2 2^{-1} + 2^{k+3} - 2^{k+1} - k^2 - 4k - 6\right)$$ $$=(k+1)^2 + 2^{(k+1)+3} - 2^{(k+1)+1} - 2k^2 - 8k - 12$$ $$=k^2 + 2k + 1 + 2^{(k+1)+3} - 2^{(k+1)+1} - 2k^2 - 8k - 12$$ $$=2^{(k+1)+3} - 2^{(k+1)+1} - k^2 - 6k - 11.$$

Por lo tanto, basta con demostrar que

$$-k^2 - 6k - 11 = -(k+1)^2 - 4(k+1) - 6.$$

Vemos que $$-(k+1)^2 - 4(k+1) - 6 = -(k^2 + 2k + 1) - 4k -4 - 6 = -k^2 - 2k - 1 -4k -4 -6$$ $$=-k^2 - 6k - 11,$$

Y así nuestra afirmación anterior se cumple para $k+1.$ Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, nuestra afirmación se cumple para todo $n \in \mathbb{N}.$