¿Qué ejemplos de distribuciones debo tener en cuenta?

Question

Estoy aprendiendo un poco sobre la teoría de las distribuciones. Qué ejemplos de distribuciones me ayudarán a desarrollar una buena intuición?

Definiciones : Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Escriba $C_c^\infty(U)$ para el espacio vectorial complejo de funciones infinitamente diferenciables $U \to \mathbb{C}$ con un soporte compacto. A distribución en $U$ es un mapa lineal $C^\infty_c(U) \to \mathbb{C}$ continua con respecto a una determinada topología en $C^\infty_c(U)$ .

Ejemplos : Si $\mu$ es una medida con signo en $U$ , finito en subconjuntos compactos, entonces $f \mapsto \int_U f \mathrm{d}\mu$ es una distribución. (Esto incluye, por ejemplo, la distribución de Dirac, $f \mapsto f(0)$ .)

De manera más general, escriba $D_i = \partial/\partial x_i$ . Entonces $$ f \mapsto \int_U D_{i_1} D_{i_2} \cdots D_{i_r} f \mathrm{d}\mu $$ es una distribución, para cualquier índice $i_1, \ldots, i_r$ y medir $\mu$ .

Cualquier combinación lineal de tales cosas es de nuevo una distribución, ya que las distribuciones forman un espacio vectorial. Por ejemplo, si $n \geq 3$ entonces hay una distribución $$ f \mapsto \int_U D_3 D_1 f \mathrm{d}\mu + \int_U D_2^2 D_3 f \mathrm{d}\nu $$ para cualquier medida $\mu$ y $\nu$ . Supongo que también podemos tomar infinitas combinaciones lineales, sujetas a condiciones de convergencia.

Mi pregunta: ¿Está bien si voy pensando en cosas como el último ejemplo como un tipo de distribución típica? ¿O el concepto de distribución es mucho más general de lo que me estoy dando cuenta? Los textos que he visto son escasos en este tipo de intuición.

Answer 1

Por la forma en que está formulada su pregunta, parece que quiere conocer particular en lugar del espacio de todas las distribuciones. En este caso, el resultado citado por Debraj es probablemente el más completo. Expresado correctamente, el resultado es:

Teorema: Si $T \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C})'$ (dual continuo) con $supp T \subseteq K$ ( $K$ compacto) entonces hay enteros $n_1$ , $n_2$ , ..., $n_p$ y funciones continuas $f_1$ , $f_1$ , ..., $f_p$ con soportes en $K$ , de tal manera que

$$ \sum_{j=1}^p f_j^{(n_j)} = T $$

Las referencias para esto son: Schwartz Teoría de las distribuciones (1965) y Vo Khac Khoan Distribuciones, análisis de Fourier. Operadores de derivación parcial (1972).

Entonces, por supuesto, cualquier distribución arbitraria puede escribirse como la suma de distribuciones con soporte compacto de forma "bonita".

Desde este punto de vista, los mejores ejemplos son los que están lo suficientemente cerca de las funciones continuas como para que sean accesibles (lo siento, sé que eres un teórico de la categoría, pero léelo en británico, no en categórico), pero lo suficientemente lejos como para que veas algún comportamiento extraño que no esperarías si todo fuera una bonita función continua. Los ejemplos mencionados en otras respuestas son todos buenos desde este punto de vista: funciones delta, derivadas de funciones delta, $L^p$ funciones, derivadas de las mismas. Yo añadiría algunas cosas como el peine de Dirac, $\Delta_{a} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta_{n a}$ para $a \in \mathbb{R}$ , $a \ne 0$ que tiene una transformada de Fourier especialmente bonita. Podríamos integrarla para obtener una función escalera infinita (la función suelo, claro). De hecho, cualquier función continua a trozos es en realidad un límite de una secuencia de variaciones sobre el tema del peine de Dirac (es decir, donde las púas pueden variar en longitud y separación), así que el peine de Dirac y sus derivadas son las "únicas" distribuciones que necesitas conocer.

Pero para mí, esta es la manera equivocada de pensar en las distribuciones. Si quieres entender las distribuciones a través de ejemplos concretos, entonces deberías decir que las distribuciones son simplemente funciones suaves con soporte compacto pero en una topología ligeramente diferente. Una vez que se ha entendido la topología, no hay razón para no pensar simplemente en funciones suaves realmente agradables. Y si no has entendido la topología, ninguno de los "ejemplos" te va a dar una buena intuición de cómo se comportan las distribuciones. De hecho, yo diría que la mayoría de los ejemplos están diseñados para hacerte pensar en la topología y para que te des cuenta de que la topología no es lo que naturalmente supones que debería ser cuando piensas en funciones suaves.

Pienso en las distribuciones simplemente como duales de las funciones suaves. El hecho de que podamos pensar en funciones como distribuciones se debe simplemente a que tenemos un par

$$ (f,g) \mapsto \int_{\mathbb{R}} f(t) g(t) d t $$

entre muchos de los diferentes espacios de funciones que podemos definir. (Nótese la falta de conjugación.) Este emparejamiento define un mapa desde un espacio de funciones hacia el dual del otro y podemos preguntarnos cuánto del dual podemos ver de esta manera. Eso es esencialmente lo que los resultados sobre la representación de las distribuciones tratan de responder. Pero esto no da mucha intuición sobre el aspecto del espacio dual en su conjunto porque intenta construirlo pieza a pieza, diciendo cada vez "¿ya lo tenemos todo?

Por ejemplo, muchas de las respuestas que has obtenido hablan de la diferenciación de las distribuciones. ¿Cómo sabemos que podemos diferenciarlas? En una respuesta, obtuviste la fórmula $\partial \phi (f) = - \phi( \partial f)$ . ¿De dónde viene ese signo menos? Después de todo, si estoy en distribuciones templadas entonces puedo definir la transformada de Fourier de una distribución y entonces la fórmula es $\mathcal{F}(\phi)(f) = \phi(\mathcal{F}(f))$ . ¿Por qué un signo menos en una y no en la otra? Y puedo multiplicar funciones suaves, ¿por qué no puedo multiplicar distribuciones? ¿Qué ocurre?

La verdad es que por el simple hecho de incrustar funciones en distribuciones se pierde toda la historia de la dualidad y la diferencia entre definir un doble frente a un operador extensión operador.

Pero ya he escrito esta parte en el n-lab, así que simplemente te remitiré allí para el siguiente capítulo. Echa un vistazo allí . Y ya que estás ahí, añade tu favorito de los ejemplos anteriores y corrige el enunciado del teorema.

Answer 2

Un ejemplo bastante loco (y muy útil) es la solución fundamental de una ecuación diferencial arbitraria con coeficientes constantes, es decir, una distribución $u$ satisfaciendo $P(D)u=\delta_0$ donde $P$ es un polinomio y $D$ es el operador de diferenciación. La construcción se puede encontrar en muchos libros de texto de EDP decentes. Es lo más alejado posible de la idea estándar de "tomar una función no suave, diferenciar unas cuantas veces" de cómo obtener distribuciones.

Otra cosa que hay que entender es que, como en todo, es más importante aprender lo que se puede y lo que no se puede hacer con las distribuciones que lo que pueden ser.

Answer 3

Dos comentarios:

(1) Toda distribución puede representarse localmente como una derivada parcial (distributiva) de una función continua. Por ejemplo, para el delta de dirac en 0, podemos partir de la función que es 0 para x negativo, e igual a x para x positivo y tomar dos derivadas. Por lo tanto, es importante entender que no todas las distribuciones se hacen iguales -- las más complicadas se hacen tomando más derivadas de funciones continuas.

(2) Algunos ejemplos a tener definitivamente en cuenta (para enfatizar la sutileza de la noción) al pensar en las distribuciones son el valor principal p.v $\frac{1}{x}$ y las pseudofunciones p.f. $\frac{1}{x^n}$

Answer 4

(No es tanto una respuesta al OP, sino a la pregunta del título).

Una de las motivaciones de las distribuciones de Schwartz fue aclarar la solución de la ecuación de onda (libre) (el problema de Cauchy), tras los trabajos anteriores de Hadamard y M. Riesz. A diferencia de las contrapartes elíptica y parabólica, la solución fundamental de la ecuación de onda, para dimensión espacial = 3, 5, 7 ... etc., es verdaderamente singular; más precisamente su soporte está contenido en el cono de luz, fenómeno conocido como principio de Huygens.

Riesz construyó esencialmente la solución fundamental por medio de la continuación analítica: dejando de lado algunos factores (importantes), podemos partir de

$$ R^s(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma_n(s)} (x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2)^{(s-n)/2} & x \in C_+ \\ 0 & x \not\in C_+ \end{cases} $$

que define una distribución para $\operatorname{Re} s>n-2$ . Aquí, $C_+$ es el futuro cono: $C_+=\{x\in\mathbb R^n | \sqrt{x_2^2+\cdots+x_n^2}\leq x_1\}$ . Si dejamos que el operador de onda $\square = \partial_1^2-\partial_2^2-\cdots-\partial_n^2$ actuar $R^s$ (en el $x$ variables), vemos por cálculo directo que $\square R^s = c R^{s-2}$ para alguna constante $c$ (dependiendo de $s$ ). Así que podemos definir $\Gamma_n(s)$ adecuadamente para que desaparezca: $\square R^s = R^{s-2}$ . Esto, entonces, permite continuar analíticamente $R^s$ a todos $s\in\mathbb C$ (después de que uno observe que $\Gamma_n(s)$ , esencialmente con dos factores de la función Gamma habitual, es analítica en $s$ ).

Observe lo que ocurre con $R^{n-2}$ (que estaba a punto de ser definido por la expresión original). Es (por definición) una derivada de $R^n$ que es constante dentro (y fuera) del cono, por lo que debe desaparecer allí al diferenciarlo: $\operatorname{supp} R^{n-2} \subseteq \partial C_+$ . Si $n=2$ (es decir, la ecuación de onda unidimensional, y el "cono de luz" $\partial C_+$ consiste en dos rayos), se puede calcular directamente que $R^0 = \delta$ (hasta alguna constante; podríamos definir $\Gamma_n(s)$ adecuadamente para que eso desaparezca).

Para $n=4$ (nuestro espacio-tiempo), la distribución $R^{n-2} = R^2$ tiene una descripción bastante sencilla: $$ R^2(x) = \frac{\delta(x_1 - r)}{4\pi r}, \qquad r=\sqrt{x_2^2+x_3^2+ x_4^2} $$ y, aplicando $\square$ en ella de nuevo, mágicamente tenemos $R^0=\delta$ . Así, la solución fundamental es $R^2$ . (Si tuviera que elegir, es el único ejemplo de distribución que tendría en cuenta).

Para las dimensiones pares superiores ( $n=6, 8,\ldots$ ), obtenemos con éxito $$ R^{n-2}, R^{n-4}, \ldots, R^2, R^0 $$ todos menos el último apoyado en el cono de luz -- pero cada vez más "singular" (o "retorcido" en algún sentido) -- y bingo, $R^0=\delta$ ¡! Esto hace de nuevo $R^2$ la solución fundamental. (Por supuesto, se puede seguir aplicando $\square$ para obtener $R^{-2}, R^{-4}, \ldots$ ), todos apoyados en el origen).

Para las dimensiones de impar, $R^{n-2},R^{n-4}, \ldots$ tienen la misma estructura de soporte, pero se salta $R^0$ (que por cierto sigue siendo $\delta)$ . La verdadera solución fundamental $R^2$ es la derivada repetida de alguna función que no desaparece dentro del cono, por lo que $\operatorname{supp} R^2 = C_+$ (y el principio de Huygens falla). La dicotomía (con la paridad de $n$ ) podría quedar más claro indicando el $\operatorname{supp} R^s$ para todos $s\in\mathbb C$ .

El hecho crucial de que $R^0=\delta$ es una consecuencia sorprendentemente sencilla del hecho de que el factor $\Gamma_n(s)$ tiene un polo en $s=0$ o que $\frac{1}{\Gamma_n(s)}$ tiene un cero. Sospecho que estaba esencialmente en Riesz, pero quizá esté más claro en el lenguaje de las distribuciones en Duistermaat [91] y Kolk-Varadarajan [91]. Probablemente apareció en algún lugar del Vol. I de Gelfand-Shilov, si no en Schwartz. (Agradecería las opiniones de los expertos sobre esto).

Así, puede ser cierto que cualquier distribución es una derivada de alguna medida, pero puede tener un comportamiento inesperado cuando el soporte salta de repente o más bien, se reduce. Por supuesto, esto ocurre muy raramente, pero son los casos más interesantes, ya que todas las soluciones fundamentales son así.

Answer 5

Creo que deberías empezar con la teoría de distribuciones templadas que son los funcionales lineales $\phi:\mathcal S(\mathbb R^n) \to \mathbb C$ donde $\mathcal S(\mathbb R^n)$ es el espacio de Schwartz en $\mathbb R^n$ es decir, el $C^\infty$ funciones en $\mathbb R^n$ que están acotadas junto con todas sus derivadas.

Se puede intuir más en $\mathcal S'$ ya que las distribuciones templadas se comportan más o menos como funciones. De hecho, cada $f\in L^p$ es una distribución, a través de $$f(g) = \int fg$$ por cada $g\in\mathcal S$ . Puede tomar un derivado $\partial$ de una distribución $\phi$ a través de $$\partial \phi(f) = -\phi(\partial f),$$ o la transformada de Fourier mediante $$\hat\phi(f) = \phi(\hat f\ ).$$ Una buena referencia es Análisis real de Folland libro, capítulo 9.