Funciones inyectivas y sobreyectivas sobre una matriz

Question

Supongamos que tenemos una función $G:M_2(\mathbb R) \to S_2(\mathbb R)$ donde $S_2(\mathbb R)$ es una matriz simétrica tal que $ S_2(\mathbb R) = \left\{A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \text{ such that } a,b,c,d \in \mathbb R \text{ and } b = c \right\} $ y

$G$ se define como:

$ G\left( \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix} $

Es $f$ ¿Subjetivo? ¿Inyectivo?

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Para el inyectable tengo:

No es inyectiva, observe $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{bmatrix} $ y $B = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} $

$A \not = B$ pero $f(A) = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 3 & 2 \end{bmatrix} = f(B) $

No estoy seguro de cómo enfocar la sobreprotección. Creo que es surjetivo... mi comienzo de una prueba es:

Toma arbitraria $D \in S_2(\mathbb R) = \begin{bmatrix} x & y \\ y & z \end{bmatrix}$

A continuación, elija $C \in M_2(\mathbb R)$ tal que:

$ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} $

où $c + d = y$ ?

Answer 1

De hecho, si se toma una decisión arbitraria $D \in S_2(\mathbb R) = \begin{bmatrix} x & y \\ y & z \end{bmatrix},$

puede elegir lo siguiente $C \in M_2(\mathbb R)$ :

$ C = \begin{bmatrix} \frac{x}{2} & \frac{y}{2}\\ \frac{y}{2} & \frac{z}{2} \end{bmatrix}. $

Es fácil comprobar que $G(C) = D$ lo que demuestra que $G$ es suryente.

Answer 2

Si $Α$ es simétrico entonces $G(A)=2A$ .